ให้ $A$ แทนเซตคำตอบของสมการ

$$3^{1+\sqrt{x^{2}-6x+2}}+3^{\frac{7+6x-x^{2}}{3+\sqrt{x^{2}-6x+2}}}=82$$

ผลบวกของสมาชิกใน $A$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ทดลองหารูปแบบที่คล้ายกันของกำลังของสาม[/STEP]

พิจารณากำลังของเลขสามตัวที่สอง คูณด้วยคอนจูเกทเพื่อทดลองจัดรูป

\begin{eqnarray*}
\frac{7+6x-x^{2}}{3+\sqrt{x^{2}-6x+2}}\times\frac{3-\sqrt{x^{2}-6x+2}}{3-\sqrt{x^{2}-6x+2}} & = & \frac{\left(7+6x-x^{2}\right)\left(3-\sqrt{x^{2}-6x+2}\right)}{9-\left(x^{2}-6x+2\right)}\\
& = & \frac{\cancel{\left(7+6x-x^{2}\right)}\left(3-\sqrt{x^{2}-6x+2}\right)}{\cancel{7+6x-x^{2}}}\\
& = & 3-\sqrt{x^{2}-6x+2}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่ามีเทอมรากที่สองเหมือนกันกับกำลังของสามตัวแรกแล้ว

[STEP]แทนตัวแปรเทอม $3^{\sqrt{x^2-6x+2}}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
3^{1+\sqrt{x^{2}-6x+2}}+3^{\frac{7+6x-x^{2}}{3+\sqrt{x^{2}-6x+2}}} & = & 82\\
3^{1+\sqrt{x^{2}-6x+2}}+3^{3-\sqrt{x^{2}-6x+2}} & = & 82\\
3\cdot3^{\sqrt{x^{2}-6x+2}}+27\cdot3^{-\sqrt{x^{2}-6x+2}} & = & 82
\end{eqnarray*}

ให้ $k=3^{\sqrt{x^2-6x+2}}$ แล้วคูณตลอดด้วย $k$

\begin{eqnarray*}
3k+\frac{27}{k} & = & 82\\
3k^{2}+27 & = & 82k\\
3k^{2}-82k+27 & = & 0\\
\left(3k-1\right)\left(k-27\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $k=\frac13$ หรือ $k=27$

กรณี $k=\frac13$

\begin{eqnarray*}
k & = & \frac{1}{3}\\
3^{\sqrt{x^{2}-6x+2}} & = & 3^{-1}\\
\sqrt{x^{2}-6x+2} & = & -1
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ กรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ

กรณี $k=27$

\begin{eqnarray*}
k & = & 27\\
3^{\sqrt{x^{2}-6x+2}} & = & 3^{3}\\
\sqrt{x^{2}-6x+2} & = & 3\\
x^{2}-6x+2 & = & 9\\
x^{2}-6x-7 & = & 0\\
\left(x-7\right)\left(x+1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จึงได้คำตอบ(ที่ยังไม่ได้ตรวจสอบ) ของสมการนี้ คือ $x=7$ หรือ $x=-1$

ตรวจคำตอบแล้ว พบว่าจริงทั้งคู่ ดังนั้น

$$A=\left\{-1,7\right\}$$ 

[ANS]ผลบวกของสมาชิกใน $A$ เท่ากับ $-1+7=6$[/ANS]



ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม