กำหนดให้ $P$ แทน ประพจน์

$$\left|4x+1\right|>x-1$$

และ $Q$ แทน ประพจน์ 

$$\left|\frac{x-3}{x+3}\right|<2$$

แล้วเอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดที่ทำให้ 

$$\forall x\left[P\left(x\right)\right]\Rightarrow\exists x\left[Q\left(x\right)\right]$$

มีค่าความจริงเป็นเท็จ

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แก้อสมการเพื่อจัดรูปให้ $P(x)$ อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้น[/STEP]

แก้อสมการ $\left|4x+1\right|>x-1$ โดยแบ่งเป็นสองกรณี คือ

  • กรณี $x<-\frac14$
  • กรณี $x\geq-\frac14$

กรณี $x<-\frac14$ จะได้ $\left|4x+1\right|=-(4x+1)$ แทนค่าลงในอสมการได้

\begin{eqnarray*}
-\left(4x+1\right) & > & x-1\\
-4x-x & > & -1+1\\
-5x & > & 0\\
x & < & 0
\end{eqnarray*}

เมื่อนำคำตอบที่ได้มาอินเตอร์เซคกับโดเมนของกรณีแล้วจะได้เซตคำตอบของกรณีนี้เป็น $\left(-\infty,-\frac14\right)$

กรณี $x\geq-\frac14$ จะได้ $\left|4x+1\right|=4x+1$ แทนค่าลงในอสมการได้

\begin{eqnarray*}
\left(4x+1\right) & > & x-1\\
4x-x & > & -1-1\\
3x & > & -2\\
x & > & -\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

นำคำตอบนี้มาอินเตอร์เซคกับโดเมนของกรณีนี้จะได้ $[-\frac14,\infty)$

เมื่อนำทั้งสองกรณีมายูเนี่ยนกัน จะได้ $P(x)\equiv \left[x\in \mathbb{R}\right]$

[STEP]แก้สมการเพื่อให้ $Q(x)$ อยู่ในรูปอย่างง่าย[/STEP]

เนื่องจาก $x+3$ อยู่ที่ตัวส่วนของอสมการ ดังนั้น $x\neq -3$ และเมื่อ $x\neq-3$ แล้วจึงทำให้ $\left|x-3\right|$ มีค่าเป็นบวกเสมอ จึงสามารถคูณตลอดด้วย $\left|x+3\right|$ โดยที่เครื่องหมายอสมการไม่กลับทิศ แล้วหลังจากนั้นจึงยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\frac{\left|x-3\right|}{\left|x+3\right|} & < & 2\\
\left|x-3\right| & < & 2\left|x+3\right|\\
\left(x-3\right)^{2} & < & \left(2x+6\right)^{2}
\end{eqnarray*}

ย้ายไปข้างเดียวกันเพื่อใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

\begin{eqnarray*}
\left(x-3\right)^{2}-\left(2x+6\right)^{2} & < & 0\\
\left(x-3+2x+6\right)\left(x-3-2x-6\right) & < & 0\\
\left(3x+3\right)\left(-x-9\right) & < & 0\\
3\left(x+1\right)\left(x+9\right) & > & 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าคำตอบของอสมการนี้ คือ $(-\infty,-9)\cup(-1,\infty)$ ซึ่งไม่มี $x=-3$ อยู่แล้ว

ดังนั้น $Q(x)\equiv \left[x<-9\vee x>-1\right]$

[STEP]แทนค่าประพจน์อย่างง่ายของ $P(x)$ และ $Q(x)$ แล้วพิจารณาหา $\mathscr{U}$ ที่ทำให้เป็นเท็จ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\forall x\left[P\left(x\right)\right]\Rightarrow\exists x\left[Q\left(x\right)\right] & \equiv & \forall x\left[x\in\mathbb{R}\right]\Rightarrow\exists x\left[\left(x<-9\right)\vee\left(x>-1\right)\right]\\
F & \equiv & T\Rightarrow F
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $P(x)$ ต้องมีค่าความจริงเป็นจริง และ $P(x)\equiv [x\in\mathbb{R}]$ มีค่าความจริงเป็นจริงเสมออยู่แล้วสำหรับ $\mathscr{U}\neq\emptyset$ ดังนั้นเราเพียงแค่ต้องพิจารณาหา $\mathscr{U}$ ซึ่งทำให้ $\exists x[Q(x)]\equiv \exists x[(x<-9)\vee(x>-1)]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จเท่านั้น

หรือพูดง่ายๆ ว่าหา $\mathscr{U}$ ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกับ $(-\infty,-9)\cup (-1,\infty)$ เลยนั่นเอง

และตัวเลือกเดียวที่ไม่มีสมาชิกร่วมกับเซตข้างบนก็คือ B. $(-9,-2)$

[ANS]B.[/ANS]

ในการแก้อสมการแรก เราสามารถแบ่งกรณีเป็น

  • $x<1$
  • $x\geq 1$ 

ได้โดยกรณีแรก อสมการจะได้คำตอบเต็มโดเมนของกรณีนี้เลย คือ $(-\infty,1)$
ส่วนกรณีที่สองใช้วิธียกกำลังสองสองข้าง แล้วย้ายมาข้างเดียวกันจากนั้นใช้สูตรผลต่างกำลังสองได้เช่นเดียวกัน

ในการแก้อสมการที่สอง เราสามารถคูณตลอดด้วย $\left|x+3\right|$ เพราะเมื่อเราทราบว่า $x\neq-3$ ก็แสดงว่า $\left|x+3\right|\neq 0$ และ $\left|x+3\right|>0$ อย่างแน่นอนแล้ว  ดังนั้นการคูณด้วย $\left|x+3\right|$ จึงชัดเจนว่าอสมการใหม่ที่ได้จะยังคงใช้เครื่่องหมายเดิมนั่นเอง

ที่จริงแล้วสามารถแบ่งเป็นสามกรณีต่อไปนี้ได้เช่นกัน

  • $x<-3$
  • $-3\leq x<3$
  • $x\geq 3$ 

ความรู้ที่ใช้ : ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์