ให้ $A$ แทนเซตคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ 

$$\log_{\sqrt{3}}\left(x-1\right)-\log_{\sqrt[3]{3}}\left(x-1\right)=1$$

และ $B$ แทนเซตคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2$$

แล้วหกเท่าของผลคูณของสมาชิกในเซต $A\cup B$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการหา $A$[/STEP]

เปลี่ยนฐานของ $\log$ ทั้งหมดเป็น $3$

\begin{eqnarray*}
\log_{\sqrt{3}}\left(x-1\right)-\log_{\sqrt[3]{3}}\left(x-1\right) & = & 1\\
\log_{3^{1/2}}\left(x-1\right)-\log_{3^{1/3}}\left(x-1\right) & = & \log_{3}3\\
2\log_{3}\left(x-1\right)-3\log_{3}\left(x-1\right) & = & \log_{3}3\\
\log_{3}\left(x-1\right)^{2}-\log_{3}\left(x-1\right)^{3} & = & \log_{3}3\\
\log_{3}\frac{\left(x-1\right)^{2}}{\left(x-1\right)^{3}} & = & \log_{3}3
\end{eqnarray*}

ปลด $\log_3$ ทิ้ง

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x-1} & = & 3\\
1 & = & 3\left(x-1\right)\\
1 & = & 3x-3\\
3x & = & 4\\
x & = & \frac{4}{3}
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบคำตอบโดยแทนเข้าไปในสมการของเซต $A$ พบว่าเป็นจริง ดังนั้น 

$$A=\left\{ \frac{4}{3}\right\} $$

[STEP]แก้สมการหาเซต $B$[/STEP]

ย้าย $\sqrt{x-1}$ ไปด้านเดียวกับเลข $2$ เพื่อให้สมการมีรากที่สองเท่าๆ กันทั้งสองข้าง แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} & = & 2\\
\sqrt{x+1} & = & 2-\sqrt{x-1}\\
\left(\sqrt{x+1}\right)^{2} & = & \left(2-\sqrt{x-1}\right)^{2}\\
\cancel{x}+1 & = & 4-4\sqrt{x-1}+\left(\cancel{x}-1\right)\\
\cancelto{2}{4}\sqrt{x-1} & = & \cancelto{1}{2}\\
2\sqrt{x-1} & = & 1
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้ง

\begin{eqnarray*}
\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2} & = & 1^{2}\\
4\left(x-1\right) & = & 1\\
x-1 & = & \frac{1}{4}\\
x & = & \frac{1}{4}+1\\
 & = & \frac{5}{4}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

$$B=\left\{ \frac{5}{4}\right\} $$

[STEP]คำนวณหกเท่าของผลคูณของสมาชิกในเซต $A\cup B$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
A\cup B & = & \left\{ \frac{4}{3}\right\} \cup\left\{ \frac{5}{4}\right\} \\
 & = & \left\{ \frac{4}{3},\frac{5}{4}\right\} 
\end{eqnarray*}

ดังนั้นผลคูณของสมาชิกใน $A\cup B$ เท่ากับ 

$$\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{5}{3}$$

ดังนั้นหกเท่าของผลคูณดังกล่าวเท่ากับ $6\times \frac53 = 10$

[ANS]$10$[/ANS]

 

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2