กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $\sin x +\cos x = \frac{13}{12}$ ถ้า $\left(1+\tan^{2}x\right)\cot x=\frac{a}{b}$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ ห.ร.ม. ของ $a$ และ $b$ เท่ากับหนึ่งแล้ว $a+b$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $\left(1+\tan^{2}x\right)\cot x$ ให้อยู่ในรูป $\sin x$ กับ $\cos x$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(1+\tan^{2}x\right)\cot x & = & \left(1+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\right)\frac{\cos x}{\sin x}\\
 & = & \left(\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\right)\frac{\cos x}{\sin x}\\
 & = & \left(\frac{1}{\cos^{\cancel{2}}x}\right)\frac{\cancel{\cos x}}{\sin x}\\
 & = & \frac{1}{\sin x\cos x}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นสิ่งที่โจทย์ถาม คือ $\frac{1}{\sin x\cos x}$

[STEP]คำนวณหา $\sin x \cos x$ จากสมการแรก[/STEP]

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการแรก

\begin{eqnarray*}
\left(\sin x+\cos x\right)^{2} & = & \left(\frac{13}{12}\right)^{2}\\
\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x & = & \frac{169}{144}\\
\left(\sin^{2}x+\cos^{2}x\right)+2\sin x\cos x & = & \frac{169}{144}\\
\left(1\right)+2\sin x\cos x & = & \frac{169}{144}\\
2\sin x\cos x & = & \frac{169}{144}-1\\
2\sin x\cos x & = & \frac{169}{144}-\frac{144}{144}\\
2\sin x\cos x & = & \frac{25}{144}\\
\sin x\cos x & = & \frac{25}{288}
\end{eqnarray*}

ซึ่งสิ่งที่โจทย์ถาม คือ $\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{288}{25}$

ดังนั้น $a=288$ และ $b=25$

[ANS]$a+b=288+25=313$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการผลบวก-ผลต่างของไซน์และโคไซน์