ถ้าให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ

$$3^{\left(a-2^{x}\right)}2^{b^{x}}=16^{64}$$

เมื่อ $x=\frac{\log b}{\log a}$ แล้วค่าของ $a+b$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการแรกโดยแยกกำลังของ $2$ และ $3$ ออกจากกันจะทำให้ได้ $2$ สมการ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
3^{\left(a-2^{x}\right)}2^{b^{x}} & = & 16^{64}\\
3^{\left(a-2^{x}\right)}2^{b^{x}} & = & \left(2^{4}\right)^{64}\\
3^{\left(a-2^{x}\right)}2^{b^{x}} & = & 2^{256}\\
3^{\left(a-2^{x}\right)}2^{\left(b^{x}-256\right)} & = & 1
\end{eqnarray*}

แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
a-2^{x} & = & 0\quad\cdots\left(3\right)\\
b^{x}-256 & = & 0\quad\cdots\left(4\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $\log a$ และ $\log b$ ในเทอมของ $x$[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
a-2^{x} & = & 0\quad\cdots\left(3\right)\\
b^{x}-256 & = & 0\quad\cdots\left(4\right)
\end{eqnarray*}

take $\log$ ทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
a & = & 2^{x}\\
\log a & = & x\log2\quad\cdots\left(5\right)
\end{eqnarray*}

และ take $\log$ ทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
b^{x} & = & 256\\
\log b^{x} & = & \log2^{8}\\
x\log b & = & 8\log2\\
\log b & = & \frac{8\log2}{x}\quad\cdots\left(6\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $\log a$ และ $\log b$ จากขั้นตอนที่แล้วลงในสมการที่สอง[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
\log a & = & x\log2\quad\cdots\left(5\right)\\
\log b & = & \frac{8\log2}{x}\quad\cdots\left(6\right)
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\log a$ และ $\log b$ ลงในสมการที่สอง

\begin{eqnarray*}
x & = & \frac{\log b}{\log a}\\
 & = & \frac{\frac{8\log2}{x}}{x\log2}\\
x & = & \frac{8\cancel{\log2}}{x^{2}\cancel{\log2}}\\
x^{3} & = & 8\\
x & = & 2
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=2$ ลงใน $(5)$ และ $(6)$

\begin{eqnarray*}
\log a & = & \left(2\right)\log2\\
\log a & = & \log2^{2}\\
a & = & 4
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
\log b & = & \frac{8\log2}{\left(2\right)}\\
\log b & = & 4\log2\\
\log b & = & \log2^{4}\\
b & = & 16
\end{eqnarray*}

[ANS]$a+b=4+16=20$[/ANS]

 

ในขั้นตอนที่สรุป 

\begin{eqnarray*}
a-2^{x} & = & 0\quad\cdots\left(3\right)\\
b^{x}-256 & = & 0\quad\cdots\left(4\right)
\end{eqnarray*}

จาก $3^{\left(a-2^{x}\right)}2^{\left(b^{x}-256\right)} = 1$ เราทำเช่นนี้ได้เพราะทราบว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเลขชี้กำลังของ $3$ และ $2$ ซึ่งก็คือ $a-2^x$ กับ $b^x-256$ ก็ย่อมเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นเดียวกัน  ซึ่งส่งผลให้ไม่มีทางอื่นที่จะทำให้ $3^{\left(a-2^{x}\right)}2^{\left(b^{x}-256\right)}$ มีค่าเท่ากับ $1$ ได้ นอกเสียจากเลขชี้กำลังของ $3$ และ $2$ ต้องเป็นศูนย์ทั้งคู่

ถ้าโจทย์ข้อนี้เปลี่ยนจากข้อความ "ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก" ไปเป็น "ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก" จะทำให้โจทย์ข้อเดียวกันนี้มีมากกว่าหนึ่งคำตอบ และถือว่าเป็นโจทย์ที่ยากขึ้นมาก

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล