กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตจำกัดซึ่ง $A\cap B\neq \emptyset$ สับเซตของ $A$ ที่มีสมาชิกสองตัว มีทั้งหมด $6$ เซต และสับเซตของ $B$ ที่มีสมาชิกสองตัวมีทั้งหมด $10$ เซต  ถ้าจำนวนสมาชิกของ $P(P(A\cap B))$ เท่ากับ $16$ เมื่อ $P(S)$ แทนพาวเวอร์เซตของ $S$ แล้ว จำนวนสมาชิกของเซต $A\cup B$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หา $n(A)$, $n(B)$ และ $n(A\cap B)$[/STEP]

ให้ $n(A)=m$ และ $n(B)=n$

จาก "สับเซตของ $A$ ที่มีสมาชิกสองตัว มี $6$ เซต"

$A$ มีสมาชิก $m$ ตัว เลือกออกมาเป็นสมาชิกของสับเซต $2$ ตัวได้ทั้งหมดเท่ากับ

\begin{eqnarray*}
\binom{m}{2} & = & 6\\
\frac{m!}{\left(m-2\right)!2!} & = & 6\\
\frac{m\left(m-1\right)\cancel{\left(m-2\right)!}}{\cancel{\left(m-2\right)!}2!} & = & 6\\
m\left(m-1\right) & = & 12\\
m^{2}-m-12 & = & 0\\
\left(m-4\right)\left(m+3\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $n(A)=m=4$ เพราะว่าจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนไม่ติดลบ

ทำนองเดียวกัน "สับเซตของ $B$ ที่มีสมาชิกสองตัวมี $10$ เซต" ก็สามารถแก้ได้

\begin{eqnarray*}
\binom{n}{2} & = & 10\\
\frac{n\left(n-1\right)}{2} & = & 10\\
n^{2}-n & = & 20\\
n^{2}-n-20 & = & 0\\
\left(n-5\right)\left(n+4\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $n(B)=n=5$

จาก สูตรจำนวนสมาชิกใน $P(X)$ เมื่อ $X$ เป็นเซตใดๆ 

$$n(P(X)) = 2^{n(X)}$$

ใช้กับข้อมูล "จำนวนสมาชิกของ $P(P(A\cap B))$ เท่ากับ $16$" ได้

\begin{eqnarray*}
2^{2^{n\left(A\cap B\right)}} & = & 16\\
2^{2^{n\left(A\cap B\right)}} & = & 2^{4}\\
2^{n\left(A\cap B\right)} & = & 4\\
n\left(A\cap B\right) & = & 2
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $n(A\cup B)$[/STEP]

จาก $n(A)=4$, $n(B)=5$ และ $n(A\cap B) = 2$ 

\begin{eqnarray*}
n\left(A\cup B\right) & = & n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)\\
 & = & 4+5-2\\
n\left(A\cup B\right) & = & 7
\end{eqnarray*}

[ANS]$n(A\cup B)=7$[/ANS]

 

 

ความรู้ที่ใช้ : การเลือกและการจัดกลุ่ม สับเซตและเพาเวอร์เซต