กำหนดให้

$$A=\sqrt{9\sqrt[3]{7}},B=\sqrt{7\sqrt[3]{9}},C=\sqrt[3]{7\sqrt{9}},D=\sqrt[3]{9\sqrt{7}}$$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]นำทุกจำนวนมายกกำลังหก[/STEP]

เนื่องจากทั้งสามจำนวนมีรากที่สองและรากที่สามซ้อนกันอยู่ ถ้าหากยกกำลังหกแล้วจะไม่เหลือรากใดๆ เลย จึงจะสามารถเปรียบเทียบกันได้ง่ายขึ้น

\begin{eqnarray*}
A^{6} & = & \left(\sqrt{9\sqrt[3]{7}}\right)^{6}=9^{3}\cdot7\\
B^{6} & = & \left(\sqrt{7\sqrt[3]{9}}\right)^{6}=7^{3}\cdot9\\
C^{6} & = & \left(\sqrt[3]{7\sqrt{9}}\right)^{6}=7^{2}\cdot9\\
D^{6} & = & \left(\sqrt[3]{9\sqrt{7}}\right)^{6}=9^{2}\cdot7
\end{eqnarray*}

[STEP]แยกตัวประกอบและดึงตัวหารร่วมของแต่ละจำนวนออก เพื่อเปรียบเทียบกัน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
A^{6} & = & 9\times7\times\left(9^{2}\right)\\
B^{6} & = & 9\times7\times\left(7^{2}\right)\\
C^{6} & = & 9\times7\times\left(7\right)\\
D^{6} & = & 9\times7\times\left(9\right)
\end{eqnarray*}

เปรียบเทียบจำนวนที่เหลือจากการดึงตัวร่วม หรือ จำนวนในวงเล็บ จะเปรียบเทียบได้ง่ายว่า

[ANS]$C<D<B<A$[/ANS]

การที่เรายกกำลังหกแล้วลำดับความมากน้อยยังคงเป็นเหมือนเดิมเพราะว่าฟังก์ชัน $f(x)=x^6$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มสำหรับ $x>0$ และจำนวนที่เรานำมาเปรียบเทียบกันนั้นมีค่ามากกว่าศูนย์ทุกจำนวนนั่นเอง

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล