ให้ $E$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ

$$\log_x\left(\frac{6}{x-1}\right)\leq1$$

แล้ว $E$ เป็นสับเซตของเซตคำตอบของข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แก้อสมการกรณี $x>1$[/STEP]

กรณี $x>1$

\begin{eqnarray*}
\log_{x}\left(\frac{6}{x-1}\right) & \leq & 1\\
\log_{x}\left(\frac{6}{x-1}\right) & \leq & \log_{x}x
\end{eqnarray*}

เนื่องจากฐานมีค่ามากกว่า $1$ ดังนั้นเมื่อปลด $\log$ แล้วใช้เครื่องหมายอสมการเดิม

\begin{eqnarray*}
\frac{6}{x-1} & \leq & x\\
\frac{6}{x-1} - x & \leq & 0\\
\frac{6}{x-1}-\frac{x\left(x-1\right)}{x-1} & \leq & 0\\
\frac{6-x^{2}+x}{x-1} & \leq & 0\\
\frac{x^{2}-x-6}{x-1} & \geq & 0\\
\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{x-1} & \geq & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีเซตคำตอบหลังอินเตอร์เซคกับโดเมนของกรณีนี้แล้วเท่ากับ $[3,\infty)$

[STEP]แก้อสมการกรณี $0<x<1$[/STEP]

อสมการที่ได้จะเหมือนกับขั้นตอนที่แล้วทุกประการ ยกเว้นขั้นตอนปลด $\log$ จะต้องกลับเครื่องหมายอสมการ ดังนั้นสุดท้ายแล้วจะได้

$$\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{x-1}\leq0$$

ซึ่งเมื่ออินเตอร์เซคกับโดเมนของกรณีนี้แล้วจะไม่เหลือคำตอบจากกรณีนี้เลย

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ หรือ $E=[3,\infty)$

[STEP]หาเซตคำตอบของตัวเลือก แล้วตรวจสอบว่า $E$ เป็นสับเซตของข้อใด[/STEP]

A) $\left|x-1\right|>2$ ใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วย้ายไปด้านเดียวกันเพื่อใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

\begin{eqnarray*}
\left|x-1\right|^{2} & > & 2^{2}\\
\left(x-1\right)^{2}-2^{2} & > & 0\\
\left(x-1+2\right)\left(x-1-2\right) & > & 0\\
\left(x+1\right)\left(x-3\right) & > & 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อ A มีเซตคำตอบเป็น $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

B) $\left|2x-5\right|\leq5$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง ย้ายไปด้านเดียวกัน แล้วใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

\begin{eqnarray*}
\left|2x-5\right|^{2} & \leq & 5^{2}\\
\left(2x-5\right)^{2}-5^{2} & \leq & 0\\
\left(2x-5+5\right)\left(2x-5-5\right) & \leq & 0\\
\left(2x\right)\left(2x-10\right) & \leq & 0\\
4x\left(x-5\right) & \leq & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ข้อ B มีเซตคำตอบเป็น $[0,5]$

C) $\left|6+x-x^2\right|=x^2-6-x$ จัดรูปได้

\begin{eqnarray*}
\left|6+x-x^{2}\right| & = & x^{2}-6-x\\
\left|x^{2}-x-6\right| & = & x^{2}-x-6
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเป็นจริงเมื่อ 

\begin{eqnarray*}
x^{2}-x-6 & \geq & 0\\
\left(x-3\right)\left(x+2\right) & \geq & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีเซตคำตอบเป็น $(-\infty,-2]\cup[3,\infty)$ และจะเห็นว่า $E\subset(-\infty,-2]\cup[3,\infty)$

[ANS]C[/ANS]

D) $\frac{x^{3}}{x-4}>\frac{3x^{2}}{x-4}$ ย้ายไปด้านเดียวกันแล้วแก้อสมการได้

\begin{eqnarray*}
\frac{x^{3}}{x-4}-\frac{3x^{2}}{x-4} & > & 0\\
\frac{x^{3}-3x^{2}}{x-4} & > & 0\\
\frac{x^{2}\left(x-3\right)}{x-4} & > & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งได้ว่าเซตคำตอบของตัวเลือก D เป็น $(-\infty,0)\cup(0,3)\cup(4,\infty)$ และ $E$ ก็ไม่ได้เป็นสับเซตของเซตคำตอบของ D

 

สาเหตุที่แบ่งเป็นสองกรณี $x>1$ และ $0<x<1$ เพราะว่า $x$ อยู่ที่ฐานของ $\log$ ซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่ง นอกจากนั้น ถ้า $x>1$ จะทำให้ $\log_x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ในขณะที่กรณี $0<x<1$ จะทำให้ $\log_x$ เป็นฟังก์ชันลด

 

การแก้สมการและอสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ด้านหนึ่งและอีกด้านหนึ่งเป็นตัวเลข นอกจากใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้างแล้ว ยังมีวิธีใช้นิยามค่าสัมบูรณ์ เช่น $\left|x-1\right|>2$ ตามความหมายของค่าสัมบูรณ์ $x$ ต้องอยู่ห่างจากเลข $1$ เป็นระยะทางมากกว่า $2$

ซึ่งจะเห็นได้ชัดจากรูปว่า คำตอบของ $\left|x-1\right|>2$ คือ $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

เราสามารถกลับเครื่องหมาย (คูณด้วย $-1$) ด้านในของค่าสัมบูรณ์อยู่ตลอดเวลา เช่น

$$\left|1-x\right| = \left| -1 + x \right| = \left| x- 1\right|$$

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการเศษส่วนพหุนาม การแก้อสมการลอการิทึม การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์