,

เปลี่ยน $\operatorname{arccot}\frac{1}{1-x}$ และ $\operatorname{arcsec}\sqrt{1+x(1-x)}$ ไปเป็น $\arctan\left(1-x\right)$ และ $\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x(1-x)}}$ ตามลำดับ จะได้สมการที่ต้องแก้ คือ

$$\arctan\left(1-x\right)+\arctan x=2\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x\left(1-x\right)}}$$

ให้ $C=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x\left(1-x\right)}}$ และวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากประกอบ

take $\tan$ ทั้งสองข้างของสมการด้านบน

$$\begin{eqnarray*} \arctan\left(1-x\right)+\arctan x & = & 2\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x\left(1-x\right)}}\\ \tan\left(\arctan\left(1-x\right)+\arctan x\right) & = & \tan2C\\ \frac{\left(1-x\right)+x}{1-\left(1-x\right)x} & = & \frac{2\tan C}{1-\tan^{2}C}\\ \frac{1}{1-\left(1-x\right)x} & = & \frac{2\sqrt{x\left(1-x\right)}}{1-x\left(1-x\right)}\\ \frac{1}{x^{2}-x+1} & = & \frac{2\sqrt{x\left(1-x\right)}}{x^{2}-x+1} \end{eqnarray*}$$

,

จากสมการ

$$\frac{1}{x^{2}-x+1}=\frac{2\sqrt{x\left(1-x\right)}}{x^{2}-x+1}\qquad\cdots(\star)$$

เนื่องจาก $x^2-x+1$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง เพราะมี discriminant น้อยกว่าศูนย์ ($b^2-4ac=1-4<0$) จึงทำให้ $x^2-x+1$ มีค่าไม่เท่ากับศูนย์เสมอ และสามารถคูณตลอดสมการได้ ทำให้เหลือ

$$1=2\sqrt{x\left(1-x\right)}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\begin{eqnarray*} 1^{2} & = & \left(2\sqrt{x\left(1-x\right)}\right)^{2}\\ 1 & = & 4x\left(1-x\right)\\ 1 & = & 4x-4x^{2}\\ 4x^{2}-4x+1 & = & 0\\ \left(2x-1\right)^{2} & = & 0\\ x & = & \frac12 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $x=\frac12$ ลงในสมการ $(\star)$ แล้วเป็นจริง ดังนั้นจึงเป็นคำตอบของสมการนี้

แทนค่า $x=\frac12$ ลงใน $\cos \pi x$ จะได้