หาค่า $a$, $b$, $c$ จาก $1\star 2=4$ และ $2\star 3=6$

$$\begin{eqnarray*} 4 & = & 1\star 2\\ 4 & = & a\left(1\right)+b\left(2\right)+c\\ a+2b+c & = & 4\quad\cdots(1) \end{eqnarray*}$$

และ

$$\begin{eqnarray*} 6 & = & 2\star 3\\ 6 & = & a\left(2\right)+b\left(3\right)+c\\ 2a+3b+c & = & 6\quad\cdots(2) \end{eqnarray*}$$

$(2)-(1):$ ได้ $$a+b=2\quad\cdots(3)$$

และจาก $x=x\star d$ จะได้ว่า 

$$\begin{eqnarray*} x & = & x\star d\\ x & = & ax+bd+c\\ d & = & \frac{x-ax-c}{b}\\ & = & \frac{x\left(1-a\right)-c}{b} \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $a$ เป็นค่าคงตัว แต่ $x$ เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ ทางเดียวที่จะทำให้ $d$ มีค่าเท่าเดิมตลอดโดยไม่ขึ้นอยู่กับ $x$ ก็คือ ให้ $a=1$ ซึ่งจะทำให้ $d=-\frac{c}{b}$

แทนค่า $a=1$ ใน $(3)$ ได้ $b=1$ และแทนค่าลงใน $(1)$ ได้ $c=1$ ดังนั้น $d=-1$ จะได้ว่า $$a+2b+3c+4d=1+2+3+(-4)=2$$