ถ้า $S$ เป็นผลบวกของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่สร้างมาจากเลขโดด $2,3,4$ หรือ $5$ โดยที่ตัวเลขในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน แล้วเศษเหลือจากการหาร $S$ ด้วย $9$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

ให้ $d$ เป็นตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งจาก $2,3,4,5$ และนับจำนวนครั้งในการปรากฏของ $d$

  • เลข $4$ หลัก จะมี $d$ ปรากฏได้ $4$ ตำแหน่ง (หลักหน่วย สิบ ร้อย และพัน ดังแผนภาพด้านล่าง)
    ส่วนตำแหน่งที่เหลือเรียงเลขที่เหลือได้ $3!$ วิธี
    รวมแล้วจะมี $d$ ปรากฏในเลข $4$ หลัก รวม $4\times3!=24$ ครั้ง$$

    \begin{array}{cccc}
    d & \_ & \_ & \_\\
    \_ & d & \_ & \_\\
    \_ & \_ & d & \_\\
    \_ & \_ & \_ & d
    \end{array}

    $$
  • เลข $3$ หลัก จะมี $d$ ปรากฏได้ $3$ ตำแหน่ง (หลักหน่วย สิบ ร้อย)
    ส่วนตำแหน่งที่เหลือเร่ียงเลขที่เหลือได้ $3\times2$ วิธี
    รวมแล้วจะมี $d$ ปรากฏในเลข $3$ หลัก รวม $3\times3\times2=18$ ครั้ง $$

    \begin{array}{ccc}
    d & \_ & \_\\
    \_ & d & \_\\
    \_ & \_ & d
    \end{array}

    $$
  • เลข $2$ หลัก จะมี $d$ ปรากฏได้ $2$ ตำแหน่ง (หลักหน่วย สิบ)
    ส่วนตำแหน่งที่เหลือเรียงเลขที่เหลือได้ $3$ วิธี$$

    \begin{array}{cc}
    d & \_\\
    \_ & d
    \end{array}

    $$
    รวมแล้วจะมี $d$ ปรากฏในเลข $2$ หลัก รวม $2\times3=6$ ครั้ง
  • เลข $1$ หลัก จะมี $d$ ปรากฏได้เพียงครั้งเดียว

รวมแล้วทั้งจำนวน 4 หลัก, 3 หลัก, 2 หลัก และ 1 หลัก ทั้งหมด $24+18+6+1=49$ ครั้ง

ดังนั้นจะมีผลรวมของเลขโดด เท่ากับ $\left(2+3+4+5\right)\times 49=686$ ซึ่งหารด้วย $9$ เหลือเศษ $2$

การหาเศษเหลือจากการหารด้วย $9$ นั้นสามารถนำผลรวมเลขโดดมาตรวจสอบแทนได้เลย

ความรู้ที่ใช้ : การหารจำนวนเต็มและเศษเหลือ การเรียงสับเปลี่ยน