รวมอสมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a_1,a_2$ และ $a_3$ เข้าด้วยกันก่อน

จากสมการที่ $2$ จะได้ $a_2\leq a_3-3$ และถ้าลบด้วย $3$ ทั้งสองข้างจะได้ $a_2-3\leq a_3-6$ ซึ่งนำไปต่อกับสมการที่ $1$ จะได้ $$a_1 \leq a_2 -3 \leq a_3-6$$ บวกด้วย $6$ ตลอดทั้งอสมการจะได้ $$a_1+6 \leq a_2+3 \leq a_3$$

จากนั้นแบ่งกรณีตาม $a_1$ ตามด้วย $a_2$ และนับจำนวนของ $a_3$ ที่เป็นไปได้

กรณี $a_1=1$

พบว่า $a_2<4$ ไม่ได้ จากอสมการข้างบน

• ถ้า $a_2=4$ จะมี $a_3$ ที่เป็นไปได้ คือ $7,8,\cdots,15$ รวม $9$ ตัว
• ถ้า $a_2=5$ จะมี $a_3$ ที่เป็นไปได้ คือ $8,9,\cdots,15$ รวม $8$ ตัว
• ถ้า $a_2=6$ จะมี $a_3$ ที่เป็นไปได้ คือ $9,10,\cdots,15$ รวม $7$ ตัว
• $\vdots$
• ถ้า $a_2=12$ จะมี $a_3$ ที่เป็นไปได้ คือ $15$ รวม $1$ ตัว

ดังนั้น กรณีนี้เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ

$$1+2+3+\cdots +9 = \sum_{i=1}^{9} i$$

กรณี $a_1=2$

 พบว่า $a_2<5$ ไม่ได้ จากอสมการข้างบน

• ถ้า $a_2=5$ จะมี $a_3$ ที่เป็นไปได้ รวม $8$ ตัวเหมือนกับกรณีด้านบน
• ถ้า $a_2=4$ จะมี $a_3$ ที่เป็นไปได้ รวม $7$ ตัวเหมือนกับกรณีด้านบนเช่นกัน

ดังนั้น กรณีนี้เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ

$$1+2+3+\cdots +8 = \sum_{i=1}^{8} i$$

กรณี $a_1=3,4,5,\cdots, 9$
จะได้ 

• $a_1=3$ จะเป็นไปได้ $1+2+3+\cdots + 7$ ตัว
• $a_1=4$ จะเป็นไปได้ $1+2+3+\cdots +6$ ตัว
• $a_1=5$ จะเป็นไปได้ $1+2+3+4+5$ ตัว
• $a_1=6$ จะเป็นไปได้ $1+2+3+4$ ตัว
• $a_1=7$ จะเป็นไปได้ $1+2+3$ ตัว
• $a_1=8$ จะเป็นไปได้ $1+2$ ตัว
• $a_1=9$ จะเป็นไปได้ $1$ ตัว

รวมทุกกรณี

 ซึ่งเมื่อครบทุกกรณีก็จะเท่ากับ  

$$\begin{eqnarray*}  & = & \left(1+2+3+\cdots+9\right)+\left(1+2+3+\cdots+8\right)+\cdots+\left(1+2\right)+\left(1\right)\\  & = & \left(\sum_{i=1}^{9}i\right)+\left(\sum_{i=1}^{8}i\right)+\cdots+\left(\sum_{i=1}^{2}i\right)+\left(\sum_{i=1}^{1}i\right)\\  & = & \sum_{n=1}^{9}\left(\sum_{i=1}^{n}i\right)\\  & = & \sum_{n=1}^{9}\left(\frac{n}{2}\left(n+1\right)\right)\\  & = & \sum_{n=1}^{9}\left(\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}\right)\\  & = & \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}n^{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}n\\  & = & \frac{1}{2}\left(\frac{9}{6}\left(9+1\right)\left(2\cdot9+1\right)\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{2}\left(9+1\right)\right)\\  & = & \frac{1}{2}\left(\frac{9}{6}\left(10\right)\left(19\right)\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{2}\left(10\right)\right)\\  & = & 165 \end{eqnarray*}$$