กำหนดให้เส้นโค้ง $y=f(x)$ สัมผัสกับเส้นตรง $3x-y+4=0$ ที่จุด $(1,3)$ และ $$\int_1^3f''(x)dx=-5$$ ถ้า $$g(x)=\sqrt{x+1}f(x)$$ และ $g'(3)=0$ แล้ว $f(3)$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

ความชันของเส้นตรง $3x-y+4=0$ เท่ากับ $3$ ดังนั้น $f'(1)=3$

จุดสัมผัสของกราฟและเส้นตรงเป็นจุดเดียวกัน ดังนั้น $f(1)=3$

หาค่าอินทิกรัล 

\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{3}f''\left(x\right)dx & = & -5\\
f'\left(3\right)-f'\left(1\right) & = & -5\\
f'\left(3\right) & = & -5+3=-2
\end{eqnarray*}

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $g$

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}g\left(x\right) & = & \sqrt{x+1}\frac{d}{dx}f\left(x\right)+f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}\\
g'\left(x\right) & = & \sqrt{x+1}f'\left(x\right)+\frac{f\left(x\right)}{2\sqrt{x+1}}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=3$, $f'(3)=-2$ จะได้ 

\begin{eqnarray*}
g'\left(3\right) & = & \sqrt{\left(3\right)+1}f'\left(3\right)+\frac{f\left(3\right)}{2\sqrt{\left(3\right)+1}}\\
0 & = & 2\left(-2\right)+\frac{f\left(3\right)}{4}\\
f\left(3\right) & = & 16
\end{eqnarray*}


ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต ความชันของเส้นโค้ง