กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า $f:R\rightarrow R$ และ $g:R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุก $x\in R$ โดยที่ $$g(x)=x^2-3x+4,$$ $$\left(g\circ f\right)(x)=x^6+5x^4-3x^3+x^2-3x+4$$ และ $f(0)=0$

ค่าของ $$\left(f'\circ g'\right)\left(\frac32\right)+\left(g'\circ f'\right)(0)$$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $g'(x)$ และใช้กฎลูกโซ่กับสมการ $g\circ{f}$[/STEP]

จาก $g(x) = x^2 -3x +4$ หาอนุพันธ์ได้ $g'(x)=2x-3$

แทนค่า $x=0$ ลงใน $g'(x)$ จะได้ $g'(0)=-3$

ใช้กฎลูกโซ่กับสมการ $g\circ{f}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
g\circ f\left(x\right) & = & x^{6}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}-3x+4\\
g'\left(f\left(x\right)\right)\times f'\left(x\right) & = & 6x^{5}+20x^{3}-9x^{2}+2x-3
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=0$, $f(0)=0$ และ $g'(0)=-3$  จะได้ 

\begin{eqnarray*}
g'\left(f\left(0\right)\right)\times f'\left(0\right) & = & -3\\
g'\left(0\right)\times f'\left(0\right) & = & -3\\
\left(-3\right)f'\left(0\right) & = & -3\\
f'\left(0\right) & = & 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งทำให้เราทราบค่า $f'(0) = 1$ ที่อาจจำเป็นต้องใช้ในขั้นตอนถัดไป

[STEP]คำนวณ $\left( g'\circ f'\right) (0)$[/STEP]

เปลี่ยน $g'\circ f'(0)$ ไปเป็น $g\left( f'(0) \right)$ แล้วแทนค่า $f'(0)=1$ และใช้ $g'(x) = 2x-3$ จากขั้นตอนที่แล้ว

\begin{eqnarray*}
g'\circ f'\left(0\right) & = & g'\left(f'\left(0\right)\right)\\
& = & g'\left(1\right)\\
& = & 2\left(1\right)-3\\
& = & -1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\left(g'\circ f'\right)(0) = -1$

[STEP]คำนวณ $\left( f'\circ g'\right)\left(\frac32\right)$[/STEP]

เช่นเดียวกันกับขั้นตอนที่แล้ว เราเปลี่ยน $f'\circ g'\left( \frac32 \right)$ ไปเป็นวงเล็บซ้อนกัน $f'\left( g'\left( \frac32 \right) \right)$ แล้วแทนค่า $x=\frac32$ ลงใน $g'(x) = 2x-3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'\circ g'\left(\frac{3}{2}\right) & = & f'\left(g'\left(\frac{3}{2}\right)\right)\\
& = & f'\left(2\left(\frac{3}{2}\right)-3\right)\\
& = & f'\left(0\right)\\
& = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\left(f'\circ g'\right) \left(\frac32 \right) = 1$

[STEP]คำนวณผลบวก $\left(f'\circ g'\right)\left(\frac32\right)+\left(g'\circ f'\right)(0)$[/STEP]

จาก $\left(g'\circ f'\right)(0) = -1$ และ $\left(f'\circ g'\right) \left(\frac32 \right) = 1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(f'\circ g'\right)\left(\frac32\right)+\left(g'\circ f'\right)(0) &=&1 +(-1)\\
&=&0
\end{eqnarray*}

[ANS]$0$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่