กำหนดให้ $$A=\left(\begin{array}{cc}
\text{cosec}10^{\circ} & \sqrt{3}\\
\sec10^{\circ} & 1
\end{array}\right),\quad$$ $$B=\left(\begin{array}{cc}
\cos^{2}70^{\circ} & \sin40^{\circ}\\
0 & \cos^{2}50^{\circ}
\end{array}\right)$$ และ $$C=\left(\begin{array}{cc}
\cos^{2}20^{\circ} & 0\\
\sin80^{\circ} & \cos^{2}10^{\circ}
\end{array}\right)$$

ค่าของ $\det\left[BA+CA\right]$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ถาม คือ $\det\left[\left(B+C\right)A\right]$ ซึ่งสามารถแยกหาเป็น $\det\left(B+C\right)\cdot\det\left(A\right)$ ได้

หา $\det A$ และเปลี่ยนให้อยู่ในรูป $\sin,\cos$ แล้วรวมเทอม

\begin{eqnarray*}
\det A & = & -\left(\sec10^{\circ}\right)\left(\sqrt{3}\right)+\left(\text{cosec}10^{\circ}\right)\left(1\right) \\
& = & -\frac{\sqrt{3}}{\cos10^{\circ}}+\frac{1}{\sin10^{\circ}}\\
& = & \frac{\cos10^{\circ}-\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}
\end{eqnarray*}


จะเห็นว่าด้านบนมี $\sqrt{3}$ เป็น ส.ป.ส. และอีกเทอมมี ส.ป.ส.เป็น $1$ จึงควรใช้เทคนิคเปลี่ยนเป็น มุม $30^{\circ}/60^{\circ}$ ดังนี้


\begin{eqnarray*}
\cos10^{\circ}-\sqrt{3}\sin10^{\circ} & = & 2\left(\frac{1}{2}\cos10^{\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^{\circ}\right)\\
& = & 2\left(\cos60^{\circ}\cos10^{\circ}-\sin60^{\circ}\sin10^{\circ}\right)\\
& = & 2\left(\cos\left(60^{\circ}+10^{\circ}\right)\right)\\
& = & 2\cos70^{\circ}
\end{eqnarray*}


จะได้ ด้านบนเท่ากับ $2\cos70^{\circ}$ หรือ $2\sin20^{\circ}$ (โคฟังก์ชัน) ส่วนด้านล่าง $\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}$ ใช้สูตร $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ ได้


\begin{eqnarray*}
\sin10^{\circ}\cos10^{\circ} & = & \frac{1}{2}\left(2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}\right)\\
& = & \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\times10^{\circ}\right)\right)\\
& = & \frac{1}{2}\sin20^{\circ}
\end{eqnarray*}


ดังนั้น


\begin{eqnarray*}
\det A & = & \frac{\sqrt{3}\sin10^{\circ}-\cos10^{\circ}}{\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}\\
& = & \frac{2\sin20^{\circ}}{\frac{1}{2}\sin20^{\circ}}\\
& = & 4
\end{eqnarray*}


หา $B+C$


\begin{eqnarray*}
B+C & = & \left(\begin{array}{cc}
\cos^{2}70^{\circ}+\cos^{2}20^{\circ} & \sin40^{\circ}+0\\
0+\sin80^{\circ} & \cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}
\end{array}\right)\\
& = & \left(\begin{array}{cc}
\cos^{2}70^{\circ}+\sin^{2}70^{\circ} & \sin40^{\circ}\\
\sin80^{\circ} & \cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}
\end{array}\right)\\
& = & \left(\begin{array}{cc}
1 & \sin40^{\circ}\\
\sin80^{\circ} & \cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

 

หา $\det\left(B+C\right)$

 

 

ใช้สูตรโคฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นมุมแหลมที่น้อยกว่า $45^{\circ}$ ทั้งหมด


\begin{eqnarray*}
\det\left(B+C\right) & = & -\left(\sin80^{\circ}\right)\left(\sin40^{\circ}\right)+\left(1\right)\left(\cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}\right)\\
& = & -\cos10^{\circ}\sin40^{\circ}+\sin^{2}40^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยใช้สูตร บวก$\rightarrow$คูณ หรือ คูณ$\rightarrow$บวก สูตรลดกำลัง เช่น


\begin{eqnarray*}
\sin^{2}40^{\circ} & = & \frac{1-\cos\left(2\times40^{\circ}\right)}{2}\\
& = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos80^{\circ}
\end{eqnarray*}


หรือ


\begin{eqnarray*}
\cos^{2}10^{\circ} & = & \frac{1+\cos\left(2\times10^{\circ}\right)}{2}\\
& = & \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos20^{\circ}
\end{eqnarray*}


หรือ


\begin{eqnarray*}
-\cos10^{\circ}\sin40^{\circ} & = & -\frac{1}{2}\left(\sin\left(10^{\circ}+40^{\circ}\right)-\sin\left(10^{\circ}-40^{\circ}\right)\right)\\
& = & -\frac{1}{2}\left(\sin50^{\circ}-\sin\left(-30^{\circ}\right)\right)\\
& = & -\frac{1}{2}\left(\sin50^{\circ}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\\
& = & -\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin50^{\circ}
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
\det\left(B+C\right) & = & -\cos10^{\circ}\sin40^{\circ}+\sin^{2}40^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}\\
& = & \left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin50^{\circ}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos80^{\circ}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos20^{\circ}\right)\\
& = & \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\cos80^{\circ}+\sin50^{\circ}\right)+\frac{1}{2}\cos20^{\circ}\\
\end{eqnarray*}

ใช้สูตรเปลี่ยน บวก$\rightarrow$คูณ อีกครั้ง


\begin{eqnarray*}
\cos80^{\circ}+\sin50^{\circ} & = & \sin10^{\circ}+\sin50^{\circ}\\
& = & 2\sin\left(\frac{10^{\circ}+50^{\circ}}{2}\right)\cos\left(\frac{10^{\circ}-50^{\circ}}{2}\right)\\
& = & 2\sin30^{\circ}\cos\left(-20^{\circ}\right)\\
& = & 2\left(\frac{1}{2}\right)\cos20^{\circ}\\
& = & \cos20^{\circ}
\end{eqnarray*}


แทนค่ากลับไปที่


\begin{eqnarray*}
\det\left(B+C\right) & = & \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\cos20^{\circ}\right)+\frac{1}{2}\cos20^{\circ}\\
& = & \frac{3}{4}
\end{eqnarray*}


ดังนั้น


\begin{eqnarray*}
\det\left[\left(B+C\right)A\right] & = & \det\left(B+C\right)\cdot \det\left(A\right)\\
& = & \left(\frac{3}{4}\right)\cdot\left(4\right)\\
& = & 3
\end{eqnarray*}


ตอบ $3$

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคการจัดรูปผลบวกไซน์-โคไซน์โดยปรับสัมประสิทธิ์เป็นค่าตรีโกณ สูตรโคฟังก์ชัน ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ สูตรมุมสองเท่า สูตรเปลี่ยนคูณเป็นบวก สูตรลดกำลังของไซน์และโคไซน์ สูตรเปลี่ยนบวกเป็นคูณ