จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ถาม คือ $\det\left[\left(B+C\right)A\right]$ ซึ่งสามารถแยกหาเป็น $\det\left(B+C\right)\cdot\det\left(A\right)$ ได้

หา $\det A$ และเปลี่ยนให้อยู่ในรูป $\sin,\cos$ แล้วรวมเทอม

$$\begin{eqnarray*} \det A & = & -\left(\sec10^{\circ}\right)\left(\sqrt{3}\right)+\left(\text{cosec}10^{\circ}\right)\left(1\right) \\ & = & -\frac{\sqrt{3}}{\cos10^{\circ}}+\frac{1}{\sin10^{\circ}}\\ & = & \frac{\cos10^{\circ}-\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่าด้านบนมี $\sqrt{3}$ เป็น ส.ป.ส. และอีกเทอมมี ส.ป.ส.เป็น $1$ จึงควรใช้เทคนิคเปลี่ยนเป็น มุม $30^{\circ}/60^{\circ}$ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} \cos10^{\circ}-\sqrt{3}\sin10^{\circ} & = & 2\left(\frac{1}{2}\cos10^{\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^{\circ}\right)\\ & = & 2\left(\cos60^{\circ}\cos10^{\circ}-\sin60^{\circ}\sin10^{\circ}\right)\\ & = & 2\left(\cos\left(60^{\circ}+10^{\circ}\right)\right)\\ & = & 2\cos70^{\circ} \end{eqnarray*}$$

จะได้ ด้านบนเท่ากับ $2\cos70^{\circ}$ หรือ $2\sin20^{\circ}$ (โคฟังก์ชัน) ส่วนด้านล่าง $\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}$ ใช้สูตร $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ ได้

$$\begin{eqnarray*} \sin10^{\circ}\cos10^{\circ} & = & \frac{1}{2}\left(2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}\right)\\ & = & \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\times10^{\circ}\right)\right)\\ & = & \frac{1}{2}\sin20^{\circ} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \det A & = & \frac{\sqrt{3}\sin10^{\circ}-\cos10^{\circ}}{\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}\\ & = & \frac{2\sin20^{\circ}}{\frac{1}{2}\sin20^{\circ}}\\ & = & 4 \end{eqnarray*}$$

หา $B+C$

$$\begin{eqnarray*} B+C & = & \left(\begin{array}{cc} \cos^{2}70^{\circ}+\cos^{2}20^{\circ} & \sin40^{\circ}+0\\ 0+\sin80^{\circ} & \cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ} \end{array}\right)\\ & = & \left(\begin{array}{cc} \cos^{2}70^{\circ}+\sin^{2}70^{\circ} & \sin40^{\circ}\\ \sin80^{\circ} & \cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ} \end{array}\right)\\ & = & \left(\begin{array}{cc} 1 & \sin40^{\circ}\\ \sin80^{\circ} & \cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

หา $\det\left(B+C\right)$

ใช้สูตรโคฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นมุมแหลมที่น้อยกว่า $45^{\circ}$ ทั้งหมด

$$\begin{eqnarray*} \det\left(B+C\right) & = & -\left(\sin80^{\circ}\right)\left(\sin40^{\circ}\right)+\left(1\right)\left(\cos^{2}50^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}\right)\\ & = & -\cos10^{\circ}\sin40^{\circ}+\sin^{2}40^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ} \end{eqnarray*}$$

จัดรูปโดยใช้สูตร บวก$\rightarrow$คูณ หรือ คูณ$\rightarrow$บวก สูตรลดกำลัง เช่น

$$\begin{eqnarray*} \sin^{2}40^{\circ} & = & \frac{1-\cos\left(2\times40^{\circ}\right)}{2}\\ & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos80^{\circ} \end{eqnarray*}$$

หรือ

$$\begin{eqnarray*} \cos^{2}10^{\circ} & = & \frac{1+\cos\left(2\times10^{\circ}\right)}{2}\\ & = & \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos20^{\circ} \end{eqnarray*}$$

หรือ

$$\begin{eqnarray*} -\cos10^{\circ}\sin40^{\circ} & = & -\frac{1}{2}\left(\sin\left(10^{\circ}+40^{\circ}\right)-\sin\left(10^{\circ}-40^{\circ}\right)\right)\\ & = & -\frac{1}{2}\left(\sin50^{\circ}-\sin\left(-30^{\circ}\right)\right)\\ & = & -\frac{1}{2}\left(\sin50^{\circ}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\\ & = & -\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin50^{\circ} \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \det\left(B+C\right) & = & -\cos10^{\circ}\sin40^{\circ}+\sin^{2}40^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}\\ & = & \left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin50^{\circ}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos80^{\circ}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos20^{\circ}\right)\\ & = & \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\cos80^{\circ}+\sin50^{\circ}\right)+\frac{1}{2}\cos20^{\circ}\\ \end{eqnarray*}$$

ใช้สูตรเปลี่ยน บวก$\rightarrow$คูณ อีกครั้ง

$$\begin{eqnarray*} \cos80^{\circ}+\sin50^{\circ} & = & \sin10^{\circ}+\sin50^{\circ}\\ & = & 2\sin\left(\frac{10^{\circ}+50^{\circ}}{2}\right)\cos\left(\frac{10^{\circ}-50^{\circ}}{2}\right)\\ & = & 2\sin30^{\circ}\cos\left(-20^{\circ}\right)\\ & = & 2\left(\frac{1}{2}\right)\cos20^{\circ}\\ & = & \cos20^{\circ} \end{eqnarray*}$$

แทนค่ากลับไปที่

$$\begin{eqnarray*} \det\left(B+C\right) & = & \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\cos20^{\circ}\right)+\frac{1}{2}\cos20^{\circ}\\ & = & \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \det\left[\left(B+C\right)A\right] & = & \det\left(B+C\right)\cdot \det\left(A\right)\\ & = & \left(\frac{3}{4}\right)\cdot\left(4\right)\\ & = & 3 \end{eqnarray*}$$

ตอบ $3$