กำหนดให้ $a>\tan60^{\circ}$ และ $A\left(a,1\right),B\left(7,7\right)$ และ $C\left(-3,5\right)$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมม $A$ เป็นมุมฉาก ให้ $L$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $A$ และจุด $B$

จงหาจำนวนจริงบวก $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พาราโบลา $ky=x^{2}+2k$ มีจุดร่วมกับเส้นตรง $L$ เพียงจุดเดียว

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]คำนวณ $a$[/step]

$\because\hat{A}$ เป็นมุมฉาก $\overline{AB}\perp\overline{AC}$ นั่นคือ ความชันของ $\overline{AB}$ และ $\overline{AC}$ คูณกันได้ $-1$ $$

\begin{eqnarray*} \frac{1-7}{a-7}\cdot\frac{1-5}{a+3} & = & -1\\ 24 & = & -\left(a-7\right)\left(a+3\right)\\ a^{2}-4a+3 & = & 0\\ \left(a-3\right)\left(a-1\right) & = & 0 \end{eqnarray*}

$$แต่ $a>\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\approx1.732>1$ ดังนั้น $a=3$

[step]สร้างสมการเส้นตรง $L$[/step]

$m_{L}=\frac{7-1}{7-3}=\frac32$ จะได้สมการ $y-7=\frac32\left(x-7\right)$ หรือ $2y-3x+7=0$

 

หา $k$

ถ้าจะหาจุดตัดระหว่าง $L$ และพาราโบลา ต้องแทน $y=\frac{\left(3x-7\right)}{2}$ ลงในสมการพาราโบลา ได้ \begin{eqnarray*}
k\frac{\left(3x-7\right)}{2} & = & x^{2}+2k\\
x^2-\frac{3k}{2}x+\frac{11k}{2} & = &0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะมีจุดร่วมกันจุดเดียวเมื่อสมการนี้มีคำตอบเดียว ($b^{2}-4ac=0$)

\begin{eqnarray*}
\left(-\frac{3k}{2}\right)^{2}-4\left(1\right)\left(\frac{11k}{2}\right) & = & 0\\
\frac{9}{4}k^2-22k & = & 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $k=0$ หรือ $k=\frac{88}{9}$ แต่ถ้า $k=0$ จะไม่ได้สมการพาราโบลา ดังนั้น $k$ ที่น้อยที่สุด คือ $\frac{88}{9}$

[ANS]$\frac{88}{9}$[/ANS]

พหุนามกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ จะ

มีคำตอบเดียว เมื่อ $b^2-4ac=0$

ไม่มีคำตอบ เมื่อ $b^2-4ac<0$

และมี 2 คำตอบเมื่อ $b^2-4ac>0$

ความรู้ที่ใช้ : ตัวตัดสินราก การสร้างสมการเส้นตรง พาราโบลา