ถ้า $A,B$ และ $C$ เป็นเซตจำกัด ซึ่ง$$

n(P(A))=\log_\sqrt{2} 4\\

n(P(B))=(\sqrt{5})^{\log_5 256}

$$และ$$

n(P(A\cup B))=3^{2\log_9 32}

$$โดย $P(X)$ แทนเพาเวอร์เซตของเซต $X$ ให้หาค่าของ$$

n(P(A)\cup P(B))

$$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

หาค่า $n(P(A))$ $$

n(P(A))=\log_{2^{1/2}}4=\dfrac1{1/2}\log_2 4 = \log_2 4^2 =4

$$ดังนั้น $n(A)=2$

หาค่า $n(P(B))$ $$

n(P(B))=5^{\frac12 \log_5 256}=5^{\log_5 256^{1/2}}=\sqrt{256}=16

$$ดังนั้น $n(B)=4$

หาค่า $n(P(A\cup B))$ และ $n(A\cup B)$$$

n(P(A\cup B)) = 3^{2\log_{3^2}32}=3^{\frac22\log_3 32}=32

$$ดังนั้น $n(A\cup B)=5$

\begin{eqnarray*}
n(A\cup B) & = &n(A) &+ n(B) &- n(A\cap B)\\
5 &= &2&+4&-n(A\cap B)\\
\end{eqnarray*}

จะได้ $n(A\cap B) = 1$ และ$$

n(P(A\cap B))=2^{n(A\cap B)} = 2^1 = 2

$$ใช้สมบัติที่ว่า $P(A)\cap P(B) = P(A\cap B)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
n(P(A)\cup P(B)) & = &n(P(A)) &+n(P(B)) &-n(P(A)\cap P(B))\\
& = &n(P(A)) &+n(P(B)) &-n(P(A\cap B))\\
& = &4 &+16 &-2\\
&= & 18
\end{eqnarray*}

$P(A)\cap P(B) = P(A\cap B)$ แต่ $P(A)\cup P(B)$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ $P(A\cup B)$ เสมอไป

ความรู้ที่ใช้ : ลอการิทึม-สมบัติลอการิทึมและการจัดรูป สับเซตและเพาเวอร์เซต