กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง

ให้ $g:R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย$$

g(x)=\dfrac1{4x+5}\quad\text{เมื่อ }x\neq-\frac54

$$ถ้า $f:R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่ $$\left(f\circ g\right)(x)=x$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ แล้ว $f''\left(\dfrac12\right)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หา $f(x)$ จากความสัมพันธ์ $\left( f\circ g \right) (x) = x$[/STEP]

จาก $f\circ g(x)=x$ จะได้ว่า $f(x)=g^{-1}(x)$ ดังนั้นเราจึงหาอินเวอร์สฟังก์ชันของ $g(x)$  

\begin{eqnarray*}
x & = & \frac{1}{4y+5}\\
4xy+5x & = & 1\\
4xy & = & 1-5x\\
y & = & \frac{1-5x}{4x}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$f\left(x\right)=g^{-1}\left(x\right)=\frac{1-5x}{4x}$$

[STEP]คำนวณอนุพันธ์ $f'(x)$, $f''(x)$ และ $f''\left(\frac12\right)$[/STEP]

จาก $f(x) = \frac{1-5x}{4x}$ ดิฟแล้วจะได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(x\right) & = & \frac{\left(4x\right)\left(-5\right)-\left(1-5x\right)\left(4\right)}{\left(4x\right)^{2}}\\
& = & \frac{-20x-4+20x}{16x^{2}}\\
& = & \frac{-4}{16x^{2}}\\
& = & -\frac{1}{4}x^{-2}
\end{eqnarray*}

และดิฟอีกรอบจะได้

\begin{eqnarray*}
f^{\prime\prime}\left(x\right) & = & -\frac{1}{4}\left(-2\right)x^{-3}\\
& = & \frac{1}{2x^{3}}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=\frac12$ ลงไปใน $f^{\prime\prime}(x)$

\begin{eqnarray*}
f^{\prime\prime}\left(\frac{1}{2}\right) & = & \frac{1}{2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}\\
& = & 4 
\end{eqnarray*}

[ANS]$4$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชัน ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร