กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ ช่วงเปิด $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ค่าความจริงของ $\exists x\left[\left(\cos x\right)^{\sin x}<\left(\sin x\right)^{\cos x}\right]$ เป็นเท็จ

(ข) ค่าความจริงของ $\forall x\left[\left(\cos x\right)^{\cos x}<\left(\sin x\right)^{\cos x}\right]$ เป็นจริง

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

จาก $x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ จะพบว่า $0<\cos x<\sin x<1$ 

(ก) ผิด

เนื่องจาก $0<\cos x < \sin x$ และ $\sin x>0$ จะได้ว่า $$\left(\cos x\right)^{\sin x}<\left(\sin x\right)^{\sin x}$$และ $0<\sin x < 1$ ดังนั้น ถ้าใช้ $\sin x$ เป็นฐานของฟังก์ชันเอ็กโพเนนเชียล จะได้ฟังก์ชันลด และเนื่องจาก $\cos x < \sin x$ เราจึงได้ว่า $$\left(\sin x\right)^{\sin x} < \left(\sin x\right) ^ {\cos x}$$เมื่อนำอสมการที่ได้ทั้งสองมาต่อกันจะได้ $$\left(\cos x\right)^{\sin x}<\left(\sin x\right)^{\cos x}$$ซึ่งเป็นจริงทุกค่า $x\in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ แต่ประโยค (ก) บอกว่าเป็นเท็จ จึงกล่าวผิด

(ข) ถูก

เนื่องจาก $0<\cos x<\sin x $ และ $\cos x >0$ ดังนั้น จะได้ว่า $$\left(\cos x\right)^{\cos x}<\left(\sin x\right) ^{\cos x}$$ซึ่งเป็นจริงทุกๆ $x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ ดังนั้นประโยค for all นี้มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อความ (ข) จึงกล่าวถูกต้องแล้ว

ข้อนี้สามารถตัดตัวเลือกได้โดยแทนตัวเลขที่สอดคล้องกับ $0<\cos x < \sin x <1$ เช่น แทน $\cos x=\frac{1}{16}$ และ $\sin x = \frac14$ เป็นต้น  ซึ่งอย่างน้อยที่สุดก็พอทราบว่าข้อ (ก) นั้นผิด

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันไซน์โคไซน์