กำหนดให้ $a,b$ และ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $\left|a\right|\neq\left|b\right|$, $\left|a\right|\neq1$ และ $\left|b\right|\neq1$ ถ้า$$

\left|az-b\right|=\left|\bar{b}z-\bar{a}\right|

$$แล้ว $\left|z\right|$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

ใช้สูตร $\left|w\right|^2=w\cdot \bar{w}$

\begin{eqnarray*}
\left|az-b\right|^{2} & = & \left|\bar{b}z-\bar{a}\right|^{2}\\
\left(az-b\right)\left(\bar{a}\bar{z}-\bar{b}\right) & = & \left(\bar{b}z-\bar{a}\right)\left(b\bar{z}-a\right)\\
\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}-a\bar{b}z-\bar{a}b\bar{z}+\left|b\right|^{2} & = & \left|b\right|^{2}\left|z\right|^{2}-a\bar{b}z-\bar{a}b\bar{z}+\left|a\right|^{2}
\end{eqnarray*}

จัดรูปเพื่อหาค่า $\left|z\right|$ และเพราะ $\left|a\right|\neq \left|b\right|$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}-\left|b\right|^{2}\left|z\right|^{2} & = & \left|a\right|^{2}-\left|b\right|^{2}\\
\left(\left|a\right|^{2}-\left|b\right|^{2}\right)\left|z\right|^{2} & = & \left|a\right|^{2}-\left|b\right|^{2}\\
\left|z\right|^{2} & = & 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $\left|z\right|=1$ เพราะค่าสัมบูรณ์มีค่าไม่เป็นลบ 

ความรู้ที่ใช้ : สังยุคและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน