,

เนื่องจาก $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นพหนุามดีกรี $2551$ ทำให้ได้ว่าเมื่อนำ $P(x)-Q(x)$ จะต้องเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่่ากับ $2551$

และโจทย์กำหนดให้ว่า $P(n)=Q(n)$ สำหรับ $n=1,2,\cdots,2551$ 

ดังนั้น

$$P(n)-Q(n)=0\,\text{ สำหรับ } n=1,2,\cdots,2551$$

จากด้านบนจะได้

$$\begin{eqnarray*} P(1)-Q(1)&=&0\\ P(2)-Q(2)&=&0\\ &\vdots&0\\ P(2551)-Q(2551)&=&0 \end{eqnarray*}$$  

จากทฤษฎีเศษเหลือเมื่อแทนค่า $n$ ลงในพหุนาม ค่าที่ได้ออกมาคือเศษ ดังนั้นเศษทุกตัวเป็นศูนย์ทำให้ได้ว่าทุกตัวเป็นตัวประกอบ

และเนื่องจากมีตัวประกอบทั้งหมด $2551$ ตัวแล้วจะได้ว่า $P(x)-Q(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $2551$ พอดี

เขียน $P(x)-Q(x)$ ให้อยู่ในรูปตัวประกอบคูณกันจะได้

$$\begin{eqnarray*} P(x)-Q(x)&=&k(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2550)(x-2551) \end{eqnarray*}$$

เมื่อ $k$ เป็นค่าคงตัวที่อยู่หน้าดีกรีสูงสุด

,

จาก $P(x)-Q(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2550)(x-2551)$ เราจะต้องหาค่า $k$ โดยใช้เงื่อนไขที่โจทย์ให้มาว่า

$$P(2552)=Q(2552)+1$$

จะได้

$$P(2552)-Q(2552)=1$$

ดังนั้น ถ้าเราแทนค่า $x=2552$ ในพหุนาม $P(x)-Q(x)$ จะได้เท่ากับ $1$

$$\begin{eqnarray*} P(x)-Q(x)&=&k(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2550)(x-2551)\\ P(2552)-Q(2552)&=&k(2552-1)(2552-2)(2552-3)\cdots(2552-2551)\\ 1&=&k(2551)(2550)(2549)\cdots(1)\\ 1&=&k(2551!) k&=&\frac{1}{2551!} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$P(x)-Q(x)=\frac{1}{2551!}\cdot(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2551)$$

,

จาก

$$P(x)-Q(x)=\frac{1}{2551!}\cdot(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2551)$$

แทนค่า $x=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} P(0)-Q(0)&=&\frac{1}{2551!}\cdot(0-1)(0-2)(0-3)\cdots(0-2551)\\ &=&\frac{1}{2551!}\cdot(-1)(-2)(-3)\cdots(-2551)\\ &=&\frac{1}{2551!}(-1)^{2551}(2551!)\\ &=&-1 \end{eqnarray*}$$