กำหนดให้  $a_{n}=\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}+\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}$  สำหรับ  $n=1,2,3,\cdots$  ค่าของ  $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{20}}$  เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $a_n$[/STEP]

พิจารณาพจน์แรกของ $a_n$ คือ $\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}$ จัดรูปโดยการปรับส่วนของเลข $1$ ตัวที่อยู่ในวงเล็บให้เท่ากันกับ $\frac{1}{n}$ แล้วรวมเป็นพจน์เดียวกัน

\begin{eqnarray*}
\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}} & = & \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{1+\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{1+\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}}}
\end{eqnarray*}

ปรับส่วนของเลข $1$ ตัวหน้าสุดให้เท่ากับตัวหลัง

\begin{eqnarray*}
 & = & \sqrt{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}}}\\
 & = & \sqrt{\frac{2n^{2}+2n+1}{n^{2}}}\\
 & = & \frac{\sqrt{2n^{2}+2n+1}}{n}
\end{eqnarray*}

ในทำนองเดียวกันจัดรูปพจน์ที่สองของ $a_n$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}} & = & \sqrt{1+\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}-2n+1}{n^{2}}}\\
 & = & \frac{\sqrt{2n^{2}-2n+1}}{n}
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & \sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}+\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}\\
 & = & \frac{\sqrt{2n^{2}+2n+1}}{n}+\frac{\sqrt{2n^{2}-2n+1}}{n}\\
 & = & \frac{\sqrt{2n^{2}+2n+1}+\sqrt{2n^{2}-2n+1}}{n}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูป $\frac{1}{a_n}$[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้ว $a_{n}=\frac{\sqrt{2n^{2}+2n+1}+\sqrt{2n^{2}-2n+1}}{n}$ กลับเศษเป็นส่วนจะได้ตัวส่วนที่ติดรากที่สอง

$$\frac{1}{a_{n}}={\frac{n}{\sqrt{2n^{2}+2n+1}+\sqrt{2n^{2}-2n+1}}}$$

เราจึงคูณด้วยคอนจูเกททั้งเศษและส่วนเพื่อให้ตัวส่วนไม่ติดรากที่สอง

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{a_{n}} & = & {\frac{n}{\sqrt{2n^{2}+2n+1}+\sqrt{2n^{2}-2n+1}}}\cdot\frac{\sqrt{2n^{2}+2n+1}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}}{\sqrt{2n^{2}+2n+1}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}}\\
 & = & \frac{n\left(\sqrt{2n^{2}+2n+1}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}\right)}{\sqrt{2n^{2}+2n+1}^{2}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}^{2}}\\
 & = & \frac{n\left(\sqrt{2n^{2}+2n+1}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}\right)}{2n^{2}+2n+1-\left(2n^{2}-2n+1\right)}
\end{eqnarray*}

คำนวณผลบวกด้านล่างแล้วตัดตัว $n$ ทั้งเศษและส่วนจะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{a_{n}} & = & \frac{n\left(\sqrt{2n^{2}+2n+1}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}\right)}{4n}\\
 & = & \frac{\cancel{n}\left(\sqrt{2n^{2}+2n+1}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}\right)}{4\cancel{n}}\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{2n^{2}+2n+1}-\sqrt{2n^{2}-2n+1}\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{20}}$[/STEP]

เพื่อความกระชับต่อไปนี้เราจะเขียน $\displaystyle\sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$ แทน $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{20}}$

จะเห็นว่าเป็นรากที่สองสองพจน์ลบกัน จึงเดาว่าน่าจะทำให้ $\sum\frac{1}{a_n}$ มีลักษณะเหมือนอนุกรมเทเลสโคปที่จะสามารถลบกันเป็นคู่ๆ จนเหลือแค่พจน์แรกกับพจน์สุดท้ายได้ เราจึงทดลองแทนค่า $n=1,2,3$ ดูว่า $\frac{1}{a_1}$, $\frac{1}{a_2}$, $\frac{1}{a_3}$ พอจะมีลักษณะอย่างที่เราคิดหรือไม่

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{a_{1}} & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{2\left(1\right)^{2}+2\left(1\right)+1}-\sqrt{2\left(1\right)^{2}-2\left(1\right)+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{2+2+1}-\sqrt{2-2+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{a_{2}} & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{2\left(2\right)^{2}+2\left(2\right)+1}-\sqrt{2\left(2\right)^{2}-2\left(2\right)+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{8+4+1}-\sqrt{8-4+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{13}-\sqrt{5}\right)
\end{eqnarray*}

และ 

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{a_{3}} & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{2\left(3\right)^{2}+2\left(3\right)+1}-\sqrt{2\left(3\right)^{2}-2\left(3\right)+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{18+6+1}-\sqrt{18-6+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{25}-\sqrt{13}\right)
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีลักษณะเหมือนที่เราคาดไว้จริงๆ และเมื่อทดลองแทน $n$ ด้วย $n+1$ ในพจน์ที่น้อยกว่าของ $\frac{1}{a_n}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2\left(n+1\right)^{2}-2\left(n+1\right)+1} & = & \sqrt{2\left(n^{2}+2n+1\right)-2n-2+1}\\
 & = & \sqrt{2n^{2}+4n+2-2n-2+1}\\
 & = & \sqrt{2n^{2}+2n+1}
\end{eqnarray*}

ก็พบว่าได้ค่าตรงกับพจน์ที่มากกว่าใน $\frac{1}{a_n}$ จริง จึงทราบแน่ชัดแล้วว่าอนุกรม $\sum\frac{1}{a_n}$ มีลักษณะเป็นอนุกรมเทเลสโคป ซึ่งจะได้ผลรวม

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_{n}} & = & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)+\frac{1}{4}\left(\sqrt{13}-\sqrt{5}\right)+\frac{1}{4}\left(\sqrt{25}-\sqrt{13}\right)+\cdots+\frac{1}{4}\left(\sqrt{841}-\sqrt{761}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\left(\cancel{\sqrt{5}}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{13}-\cancel{\sqrt{5}}\right)+\left(\sqrt{25}-\sqrt{13}\right)+\cdots+\left(\sqrt{841}-\sqrt{761}\right)\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\left(\cancel{\sqrt{5}}-\sqrt{1}\right)+\left(\cancel{\sqrt{13}}-\cancel{\sqrt{5}}\right)+\left(\sqrt{25}-\cancel{\sqrt{13}}\right)+\cdots+\left(\sqrt{841}-\sqrt{761}\right)\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\left(\cancel{\sqrt{5}}-\sqrt{1}\right)+\left(\cancel{\sqrt{13}}-\cancel{\sqrt{5}}\right)+\left(\cancel{\sqrt{25}}-\cancel{\sqrt{13}}\right)+\cdots+\left(\sqrt{841}-\cancel{\sqrt{761}}\right)\right)\\
\end{eqnarray*}

จะเหลือเพียงแค่

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n} & = & \frac{1}{4}\left(-\sqrt{1}+\sqrt{841}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(29-1\right)\\
 & = & \frac{\cancelto{7}{28}}{\cancel{4}}\\
 & = & 7
\end{eqnarray*}

[ANS]$7$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อนุกรมเทเลสโคป