พิจารณาการจัดเรียงลำดับของจำนวนคี่  $1,3,5,7,9,\cdots$  ให้ตารางดังต่อไปนี้

แถวที่ $1$         $1$        
แถวที่ $2$       $3$   $5$      
แถวที่ $3$     $7$   $9$   $11$    
แถวที่ $4$   $13$   $15$   $17$   $19$  
แถวที่ $5$ $\vdots$ $\vdots$   $\vdots$   $\vdots$   $\vdots$ $\vdots$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$   $\vdots$   $\vdots$   $\vdots$ $\vdots$

จากตารางจะเห็นว่า จำนวน  $15$  อยู่ตำแหน่งที่ $2$ (จากซ้าย) ของแถวที่ $4$  อยากทราบว่า จำนวน  $361$  จะอยู่ตำแหน่งใดในแถวที่เท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หารูปทั่วไปของลำดับของตัวแรก[/STEP]

ตัวแรกในแต่ละบรรทัด คือ 

$$1,3,7,13,21,\cdots$$

หารูปทั่วไปของลำดับนี้โดยพิจารณาผลต่างของลำดับนี้เป็นคู่ๆ ดังนี้

ซึ่งพบว่าผลต่างในชั้นที่ $1$ ยังไม่เท่ากัน จึงหาผลต่างชั้นถัดไป

ก็จะได้ผลต่างชั้นที่สองเท่ากัน และเท่ากับ $2$ ดังนั้นเราจึงทราบว่าลำดับ $1,3,7,13,21,\cdots$ นี้เป็นลำดับพหุนามกำลังสอง นั่นคือ $a_n = b\cdot n^2 +c\cdot n +d$ โดยที่ $b,c,d$ เป็นค่าคงตัว

จากเทคนิคการหาค่าคงตัว $b,c,d$ เราทราบว่า $b=\text{ผลต่างชั้นสุดท้ายที่เท่ากัน}{2}$ เสมอ ดังนั้น $b=\frac{2}{2} = 1$ จึงได้ว่า $a_n = n^2 +c\cdot n + d$ นั่นเอง

ขั้นต่อไปเราจะใช้ $a_1 = 1 $ โดยแทนค่า $n=1$ ลงใน $a_n = n^2 +c\cdot n +d$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_1 &=& 1\\
(1)^2+c\cdot(1)+d &=& 1\\
1+c+d &=& 1\\
c+d &=& 0\qquad\cdots(1)
\end{eqnarray*}

และเราจะใช้ $a_2=3$ โดยแทนค่า $n=2$ ลงใน $a_n = n^2 +c\cdot n +d$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_2 &=& 3 \\
(2)^2 +c\cdot(2) +d &=& 3\\
4+2c+d &=& 3\\
2c+d &=& -1\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

จากระบบสมการที่ได้ทั้งสองสมการ

\begin{eqnarray*}
c+d & = & 0\qquad\cdots\left(1\right)\\
2c+d & = & -1\qquad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

จับสมการ $(2) - (1)$ จะได้

$$c=-1$$

แทนค่า $c=-1$ ลงในสมการ $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
c+d & = & 0\\
\left(-1\right)+d & = & 0\\
d & = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นแทนค่า $c=-1$ และ $d=1$ ลงในรูปทั่วไปของ $a_n$ จะได้ 

$$a_n = n^2 - n+1$$

[STEP]หาแถวที่มีเลข $361$ อยู่[/STEP]

ในแถวที่มี $361$ อยู่ จะต้องมี $a_n$ น้อยกว่าหรือเท่ากับ $361$ และแถวถัดไป $a_{n+1}$ จะต้องมีค่ามาก $361$ เราจึงทดลองแทนค่าแถวที่ปรากฎในช้อยส์ดู โดยแทน $n=18,19$ และ $n=20$ ลงใน $a_n = n^2 -n +1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_{18} & = & 307\\
a_{19} & = & 343\\
a_{20} & = & 381
\end{eqnarray*}

ซึ่งก็พบว่า $361$ จะต้องอยู่ในแถวที่ $19$ เพราะว่าตัวแรกของแถวที่ $19$ คือเลข $343$ และตัวแรกในแถวถัดไปคือ $381$ ซึ่งมีค่ามากกว่าจำนวน $361$ ที่เราต้องการพอดี ดังนั้นเราจึงตอบข้อ $B$

[ANS]$B$[/ANS]

 

ถ้าหากเราสนจะหาว่า $361$ เป็นตัวที่เท่าใดในแถว ให้เริ่มจากการสังเกตุว่า ตัวเลขที่ติดกันจะห่างกันครั้งละ $2$ พอดี และสังเกตุว่า

ในแถวที่ $1$ จะมีตัวเลข $1$ ตัว 
ในแถวที่ $2$ จะมีตัวเลข $2$ ตัว
ในแถวที่ $3$ จะมีตัวเลข $3$ ตัว

ดังนั้นในแถวที่ $19$ จะต้องมีตัวเลขทั้งหมด $19$ ตัว

ตัวแรกของแถวที่ $19$ คือเลข $343$ ซึ่งห่างจาก $361$ เท่ากับ $361-343=18$ ซึ่งเท่ากับว่าต้องบวกด้วย $2$ ทั้งหมด $9$ ครั้ง จึงทำให้ทราบว่า $361$ เป็นตัวที่ $10$ จากทางซ้ายของแถวที่ $19$ นั่นเอง

ความรู้ที่ใช้ : การหารูปทั่วไปของลำดับ