กำหนด  $a=2^{48},$ $b=3^{36}$  และ  $c=5^{24}$  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ปรับเลขชี้กำลังให้เท่ากัน[/STEP]

หา ห.ร.ม. ของเลขชี้กำลังทั้งสามตัว นั่นคือ $12$

จากนั้นปรับเลขชี้กำลังทั้งสามตัวให้เท่ากัน

\begin{eqnarray*}
a & = & 2^{48}\\
 & = & 2^{4\times12}\\
 & = & \left(2^{4}\right)^{12}\\
 & = & \left(16\right)^{12}
\end{eqnarray*}

ทำเช่นเดียวกันกับ $b$

\begin{eqnarray*}
b & = & 3^{36}\\
 & = & 3^{3\times12}\\
 & = & \left(3^{3}\right)^{12}\\
 & = & \left(27\right)^{12}
\end{eqnarray*}

และเช่นเดียวกันกับ $c$

\begin{eqnarray*}
c & = & 5^{24}\\
 & = & 5^{2\times12}\\
 & = & \left(5^{2}\right)^{12}\\
 & = & \left(25\right)^{12}
\end{eqnarray*}

[STEP]เรียงลำดับ $a,b,c$[/STEP]

เมื่อเลขชี้กำลังเท่ากันแล้ว เราก็จะสามารถเรียงลำดับตามฐานของจำนวนเหล่านั้นได้เลย นั่นคือ

$$16^{12} < 25^{12} < 27^{12}$$

หรือจะได้ $$a < c <b$$

[STEP]เรียงลำดับ $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$[/STEP]

จาก $a<c<b$ และ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นสามารถหารตลอดอสมการทีละคู่ได้ โดยที่เครื่องหมายยังคงเดิมดังนี้

\begin{eqnarray*}
a & < & c\\
\frac{a}{ac} & < & \frac{c}{ac}\\
\frac{a}{ac} & < & \frac{c}{ac}\\
\frac{1}{c} & < & \frac{1}{a}
\end{eqnarray*}

จากนั้นจับคู่หลังแล้วทำแบบเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
c & < & b\\
\frac{c}{bc} & < & \frac{b}{bc}\\
\frac{c}{bc} & < & \frac{b}{bc}\\
\frac{1}{b} & < & \frac{1}{c}
\end{eqnarray*}

เมื่อนำอสมการ $\frac{1}{c} < \frac{1}{a}$ และ $\frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ มาต่อกัน ก็จะได้อสมการ

$$\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$$

และเมื่อกลับข้างเครื่องหมายให้เป็นเครื่องหมายมากกว่าให้ตรงกับในตัวเลือกก็จะได้

$$\frac{1}{a} > \frac{1}{c} > \frac{1}{b}$$

[ANS]$\frac{1}{a} > \frac{1}{c} > \frac{1}{b}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การเปรียบเทียบเลขยกกำลัง จำนวนติดราก และลอการิทึม