กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ  $\{-1,0,1\}$  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาตัวเลือก A[/STEP]

$\forall x\forall y\left[x+y+2>0\right]$  มีค่าความจริงเป็นจริง

$\forall x \forall y $ มีค่าความจริงเป็นจริงแสดงว่าไม่ว่าเราจะจับคู่ไหนของ $x,y$ จะต้องได้ความความจริงเป็นจริงเสมอ แต่ถ้ามีคู่นึงเป็นเท็จสรุปได้ทันทีว่าเป็นเท็จ

ในข้อนี้เมื่อเราดูกรณี $x=-1$ และ $y=-1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x+y+2&=&-1-1+2\\
&=&0\\
&\not>&0
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจะได้ว่ากรณีนี้ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ จึงสรุปได้ว่า $\forall x\forall y\left[x+y+2>0\right]$  มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวเลือก A ผิด

[STEP]พิจารณาตัวเลือก B[/STEP]

$\forall x\exists y\left[x+y\geq0\right]$  มีค่าความจริงเป็นเท็จ

$\forall x\exists y$ จะเป็นจริงเมื่อไม่ว่า $x$ เป็นอะไรจะหา $y$ ที่คู่กันที่ทำให้ค่าความจริงเป็นจริงได้

กรณี $x=-1$ เราเลือก $y=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x+y&=&-1+1\\
&=&0\\
&\geq&0
\end{eqnarray*}

กรณี $x=0$ เราเลือก $y=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x+y&=&0+0\\
&=&0\\
&\geq&0
\end{eqnarray*}

กรณี $x=1$ เราเลือก $y=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x+y&=&1+1\\
&=&2\\
&\geq&0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ทุกกรณีของ $x$ เราสามารถหาค่า $y$ ที่ทำให้เป็นจริงได้เสมอ จึงสรุปได้ว่า

$\forall x\exists y\left[x+y\geq0\right]$  มีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวเลือก B ผิด

[STEP]พิจารณาตัวเลือก $C$[/STEP]

$\exists x\forall y\left[x+y=1\right]$  มีค่าความจริงเป็นเท็จ

$\exists x\forall y$ จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อ มี $x$ ตัวนึงที่ไม่ว่าจะจับคู่กับ $y$ ตัวไหนก็ตามจะได้ความความจริงเป็นจริงเสมอ

ซึ่งในข้อนี้ เซตของเราคือ $\{-1,0,1\}$ ไม่ว่าเราเลือก $x$ เป็นเลขอะไรก็ตามไม่มีทางที่เมื่อบวกกับ $y$ ทุกตัวแล้วจะได้ค่าเท่ากับ $1$ เสมอ ดังนั้น

$\exists x\forall y\left[x+y=1\right]$  มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวเลือก C ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาตัวเลือก D[/STEP]

$\exists x\exists y\left[x+y>1\right]$  มีค่าความจริงเป็นเท็จ

$\exists x\exists y$ จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อ หา $x,y$ ได้หนึ่งคู่ที่ให้ค่าความจริงเป็นจริง

เราเลือก $x=1$ และ $y=1$ 

จะได้

\begin{eqnarray*}
x+y&=&1+1\\
&=&2\\
&>&1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$\exists x\exists y\left[x+y>1\right]$  มีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวเลือก D ผิด

[ANS] $\exists x\forall y\left[x+y=1\right]$  มีค่าความจริงเป็นเท็จ กล่าวได้ถูกต้อง[/STEP]

ความรู้ที่ใช้ : ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ