,

จากการที่ $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิต จึงมีรูปทั่วไปเป็น $a_n = a_1 +(n-1)d$ โดยที่ $a_1$ กับ $d$ เป็นค่าคงตัว

ในขั้นตอนนี้เราจะพิจารณาหาค่า $d$ จากลิมิตที่โจทย์กำหนดให้มา โดยแทนค่า $a_n = a_1 +(n-1)d$ ลงไป

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_{n}-a_{1}}{n}\right) & = & 5\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_{1}+\left(n-1\right)d-a_{1}}{n}\right) & = & 5\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n-1\right)d}{n} & = & 5\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{dn-d}{n} & = & 5\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{dn}{n}-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{d}{n} & = & 5\\ \lim_{n\rightarrow\infty}d-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{d}{n} & = & 5\\ \end{eqnarray*}$$

ซึ่งพบว่าลิมิตตัวทางซ้ายเป็นลิมิตของค่าคงตัว $d$ จึงมีค่าเท่ากับ $d$ แต่ลิมิตตัวทางขวาเป็นลิมิตของค่าคงตัวส่วน $n$ ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ จึงได้

$$\begin{eqnarray*} d-0 & = & 5\\ d & = & 5 \end{eqnarray*}$$

,

แทนค่า $a_n = a_1 + (n-1)d  ลงในสมการ$a_9+a_5=100$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a_{9}+a_{5} & = & 100\\ \left(a_{1}+8d\right)+\left(a_{1}+4d\right) & = & 100\\ 2a_{1}+12d & = & 100 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $d=5$ ลงไป แก้สมการหารค่า $a_1$

$$\begin{eqnarray*} 2a_{1}+12d & = & 100\\ 2a_{1}+12\left(5\right) & = & 100\\ 2a_{1} & = & 100-60\\ 2a_{1} & = & 40\\ a_{1} & = & 20 \end{eqnarray*}$$

จะได้ $$a_n = 20+5(n-1)= 5n+15$$

ดังนั้นแทนค่า $n=100$ หาค่า $a_{100}$ ได้

$$\begin{eqnarray*} a_{100} & = & 5\left(100\right)+15\\  & = & 500+15\\  & = & 515 \end{eqnarray*}$$