กำหนดให้ $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นประโยคเปิด  ประโยค $\forall x \left[P(x)\right]\Rightarrow \exists x\left[\sim Q(x)\right]$ สมมูลกับประโยคใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $\forall x \left[P(x)\right]\Rightarrow \exists x\left[\sim Q(x)\right]$[/STEP]

ในข้อนี้เราจะใช้การสมมูลโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้วเป็นเครื่องหมายหรือ

และเปลี่ยนจากหรือเป็นถ้าแล้วอีกรอบ เพราะว่าในตัวเลือกที่โจทย์ถามเป็นเครื่องหมายถ้าแล้วทั้งหมด

ความรู้ที่ใช้คือ

$p\Rightarrow q\equiv \sim p \vee q$

$\sim\forall x[P(x)]\equiv \exists x[\sim P(x)]$

$\sim\exists x[P(x)]\equiv \forall x[\sim P(x)]$

จัดรูป

\begin{eqnarray*}
\forall x \left[P(x)\right]\Rightarrow \exists x\left[\sim Q(x)\right]&\equiv&\sim\forall [P(x)]\vee\exists x[\sim Q(x)]\\
&\equiv&\exists x[\sim P(x)]\vee \exists x[\sim Q(x)]\\
&\equiv&\exists x[\sim Q(x)] \vee \exists x[\sim P(x)]\\
&\equiv&\sim \forall x[Q(x)]\vee \exists x [\sim P(x)]\\
&\equiv&\forall x [Q(x)] \Rightarrow \exists x [\sim P(x)]
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

[ANS]$\forall x \left[P(x)\right]\Rightarrow \exists x\left[\sim Q(x)\right]\equiv\forall x [Q(x)] \Rightarrow \exists x [\sim P(x)]$[/ANS]

ข้อนี้ถ้าจำสูตร สมมูลของ $p\rightarrow q\equiv \sim q\rightarrow \sim p$ สามารถใช้สูตรนี้ได้เลยไม่ต้องเปลี่ยนถ้าแล้วเป็นหรือ

ความรู้ที่ใช้ : ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ