,

จัดรูปสมการวงกลมให้อยู่ในรูปมาตรฐานก่อน จะได้เป็น

  $$\begin{eqnarray*} x^2+y^2+2x-4y-15 &=& 0\\ (x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) &=& 15\\ (x^2 + 2x +1) + (y^2 - 4y +4) &=& 15 +1 +4\\ (x+1)^2 + (y-2)^2 &=& 20\\ (x+1)^2 + (y-2)^2 &=& (2\sqrt{5})^2 \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่าเป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(-1 , 2)$ และมีรัศมียาว $2\sqrt{5}$ หน่วย

เราจะเช็คว่าจุด $A (1,3)$ อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง $(-1,2)$ เป็นระยะเท่าใด

จะได้ว่าระยะห่าง $r$ เท่ากับ

  $$\begin{eqnarray*} r &=& \sqrt{(1-(-1))^2+(3-2)^2}\\ &=& \sqrt{4+1}\\ &=& \sqrt{5} \end{eqnarray*}$$

ได้ว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเป็น $\sqrt{5}$ หน่วยซึ่งน้อยกว่ารัศมีวงกลม ดังนั้นจุด $A$ อยู่ในวงกลม

,

เนื่องจากจุด $P$ เป็นจุดบนวงกลม เราจะลากรัศมีวงกลมที่ผ่านทั้งจุดศูนย์กลาง จุด $A$ และจุด $P$

ทั้งสามจุดนี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เราจะหาสมการเส้นตรงนี้จากจุดศูนย์กลาง $(-1,2)$ และจุด $A (1,3)$ ที่เรารู้พิกัดอยู่แล้ว

หาความชัน $m$ ก่อน จะได้

  $$\begin{eqnarray*} m &=& \frac {3-2}{1-(-1)}\\ &=& \frac 12  \end{eqnarray*}$$

จากสมการเส้นตรงรูปมาตรฐาน $y = mx + c$ แทนค่า $m$ และพิกัด $(x,y) = (1,3)$ ลงไปเพื่อหาค่า $c$ จะได้

  $$\begin{eqnarray*} 3 &=& \frac 12 (1) + c\\ c &=& 3 - \frac 12\\ c &=& \frac 52  \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น สมการเส้นตรงนี้คือ $y = \frac 12 x + \frac 52$ หรือทำเป็นรูปทั่วไปคือ $x - 2y + 5 = 0$

สมมติพิกัด $P(x,y)$ และจาก $P$ อยู่บนเส้นตรง $x - 2y + 5 = 0$ หรือ $x = 2y-5$ ดังนั้นเราจะสมมติพิกัดเป็น $P(2y-5 , y)$

เนื่องจากระยะห่างจากจุดศูนย์กลาง $(-1,2)$ มายัง $P(2y-5 , y)$ เท่ากับ $2\sqrt{5}$ หน่วยเนื่องจากเป็นรัศมีวงกลม

จะได้ว่า 

  $$\begin{eqnarray*} \sqrt{(y-2)^2+(2y-5-(-1))^2} &=& 2\sqrt{5}\\ \sqrt{(y-2)^2+(2y-4)^2} &=& 2\sqrt{5}\\ \sqrt{(y-2)^2+(2(y-2))^2} &=& 2\sqrt{5}\\ \sqrt{5(y-2)^2} &=& 2\sqrt{5}  \end{eqnarray*}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} 5(y-2)^2 &=& 20\\ (y-2)^2 &=& 4\\ y-2 &=& 2 , -2\\ y &=& 4 , 0  \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่าพิกัดจุด $P$ ที่เป็นไปได้คือ $(3,4)$ และ $(-5,0)$

แต่จุดที่อยู่ใกล้จุด $A$ มากกว่าคือจุด $(3,4)$

ดังนั้นพิกัดจุด $P$ คือ $P(3,4)$

,

จากระยะห่างระหว่างจุด $A(x_1,y_1)$ กับเส้นตรง $Ax+By+C = 0$ เท่ากับ $\frac {|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

ระยะห่างระหว่างจุด $P(3,4)$ กับเส้นตรง $4x-3y+15 = 0$ เท่ากับ

$$\begin{eqnarray*} \frac {|(4)(3) - (3)(4) + 15|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\ &=& \frac {15}{5}\\ &=& 3  \end{eqnarray*}$$