,

จากโจทย์กำหนดให้

เราต้องการการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปตัวแปรเดียว ดังนั้นเราจะแทนค่า $x=a$ และ $y=a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนนับ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f(x+y)&=&f(x)+f(y)+4xy\\ f(a+a)&=&f(a)+f(a)+4(a)(a)\\ f(2a)&=&2f(a)+4a^2 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น เราจะได้ฟังชั้นในรูปตัวแปรเดียวคือ

$$f(2a)=2f(a)+4a^2$$

,

เริ่มจากการใช้สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ คือ $f(1)=4$ และจากขั้นตอนก่อนหน้าเราจะสามารถหาค่า $f(2)$ ได้ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} f(2a)&=&2f(a)+4a^2\\ f(2(1))&=&2f(1)+4(1^2)\\ f(2)&=&2(4)+4\\ f(2)&=&12 \end{eqnarray*}$$

จาก $f(2)$ จะสามารถหาค่า $f(4)$ ได้

$$\begin{eqnarray*} f(2(2))&=&2f(2)+4(2^2)\\ f(4)&=&2(12)+16\\ f(4)&=&40 \end{eqnarray*}$$

เมื่อได้ $f(4)$ และโจทย์ให้ $f(1)$ มาแล้ว คำนวณ $f(5)$

$$\begin{eqnarray*} f(x+y)&=&f(x)+f(y)+4xy\\ f(1+4)&=&f(1)+f(4)+4(1)(4)\\ f(5)&=&4+40+16\\ f(5)&=&60 \end{eqnarray*}$$

ต่อมาใช้ $f(5)$ เพื่อคำนวณ $f(10)$ โดยใช้ $f(2a)=2f(a)+4a^2$

$$\begin{eqnarray*} f(2(5))&=&2f(5)+4(5^2)\\ f(10)&=&2(60)+4(25)\\ f(10)&=&220 \end{eqnarray*}$$

ตอนนี้เราได้ $f(10)$ เรียบร้อยแล้ว ดังนั้นเราจะคำนวณ $f(20)$ ได้

$$\begin{eqnarray*} f(2(10))&=&2f(10)+4(10^2)\\ f(20)&=&2(220)+4(100)\\ f(20)&=&840 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $f(20)$ ที่โจทย์ถามมีค่าเท่ากับ $840$