กำหนดให้ 

$$A=\left\{ x\in {R} \> \middle| \> 2^{2x}-2^{x+2}>2^{x+\frac12}-\sqrt{32} \right\}$$

เมื่อ ${R}$ แทนเซตของจำนวนจริง

จงหาจำนวนสมาชิกที่เป็นจำนวนเต็มของ $R-A$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาสมาชิกในเซต $A$[/STEP]

แก้อสมการเพื่อหาค่า $x$

\begin{eqnarray*}
2^{2x}-2^{x+2}&>&2^{x+\frac12}-\sqrt{32}\\
\left(2^x\right)^2-2^2\cdot2^x&>&2^{\frac12}\cdot2^x-32^{\frac12}\\
\end{eqnarray*}

แทนค่าตัวแปรโดยที่กำหนดให้ $a=2^x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(2^x\right)^2-2^2\cdot2^x&>&2^{\frac12}\cdot2^x-\sqrt{32}\\
a^2-4a&>&\sqrt2 a-4\sqrt{2}\\
a^2-4a-\sqrt2 a+4\sqrt2&>&0\\
a^2-(4+\sqrt2)a+4\sqrt2&>&0
\end{eqnarray*}

จากนั้นเราจะต้องแยกตัวประกอบพหุนามกำหลังสองและวาดเส้นจำนวน

ในข้อนี้เราจะแยกตัวประกอบโดยการหารสังเคราะห์ ซึ่งข้อนี้เมื่อแทน $a$ เท่ากับ $4$ จะได้ค่าเป็ศูนย์ เราจึงใช้ $4$ ในการหาร จะได้

รูปที่ 1

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a^2-(4+\sqrt2)a+4\sqrt2&>&0\\
(a-4)(a-\sqrt2)&>&0\\
(2^x-4)(2^x-\sqrt2)&>&0
\end{eqnarray*}

วาดเส้นจำนวน จะได้

รูปที่ 2

$$A=(-\infty,\frac12)\cup(2,\infty)$$

ดังนั้น

$$R-A$$ คือ

$$[\frac12,2]$$

ซึ่งจำนวนเต็มในช่วงด้านบนประกอบด้วย

$$1,2$$

ดังนั้น $R-A$ มีจำนวนเต็มทั้งหมด $2$ จำนวน

[ANS] $2$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล