,

ให้ $S = 1+\frac{6}{1+x}+\frac{15}{\left(1+x\right)^{2}}+\frac{28}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots$

จัดรูปโดยการคูณ $\frac {1}{1+x}$ จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} S &=& 1+\frac{6}{1+x}+\frac{15}{\left(1+x\right)^{2}}+\frac{28}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots\\ \left(\frac {1}{1+x} \right)S &=&\quad\quad \frac {1}{1+x} +\frac{6}{(1+x)^2}+\frac{15}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots \end{eqnarray*}$$

นำทั้งสองสมการลบกัน โดยที่ตัวส่วนเดียวกันลบด้วยกัน จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left( 1 - \left(\frac {1}{1+x} \right) \right)S &=& 1 + \frac{5}{1+x}+\frac{9}{\left(1+x\right)^{2}}+\frac{13}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots\\ \left(\frac {x}{1+x} \right)S  &=& 1 + \frac{5}{1+x}+\frac{9}{\left(1+x\right)^{2}}+\frac{13}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots\\ \end{eqnarray*}$$

จัดรูปต่อ โดยการคูณ $\frac {1}{1+x}$ อีกครั้ง จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \left(\frac {x}{1+x} \right)S  &=& 1 + \frac{5}{1+x}+\frac{9}{\left(1+x\right)^{2}}+\frac{13}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots\\ \left(\frac {1}{1+x} \right)\left(\frac {x}{1+x} \right)S  &=&\quad\quad \frac {1}{1+x} + \frac{5}{(1+x)^2}+\frac{9}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots\\ \end{eqnarray*}$$

นำทั้งสองสมการมาลบกันเหมือนเดิมอีกรอบ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left(\frac {x}{1+x} - \frac {x}{(1+x)^2} \right)S  &=& 1 + \frac{4}{1+x}+\frac{4}{\left(1+x\right)^{2}}+\frac{4}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots\\ \left(\frac {x(1+x) - x}{(1+x)^2} \right)S  &=& 1 + \frac{4}{1+x}+\frac{4}{\left(1+x\right)^{2}}+\frac{4}{\left(1+x\right)^{3}}+\cdots\\ \left(\frac {x^2}{(1+x)^2} \right)S  &=& 1 + \frac{4}{1+x} \left(1 + \frac {1}{1+x} + \frac {1}{(1+x)^2} + \cdots \right) \end{eqnarray*}$$

จากอนุกรมอนันต์ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left(\frac {x^2}{(1+x)^2} \right)S  &=& 1 + \frac{4}{1+x} \left (1 + \frac {1}{1+x} + \frac {1}{(1+x)^2} + \cdots \right)\\ \left(\frac {x^2}{(1+x)^2} \right)S  &=& 1 + \frac{4}{1+x} \left (\frac {1}{1 - \frac {1}{1+x}} \right)\\ \left(\frac {x^2}{(1+x)^2} \right)S  &=& 1 + \frac{4}{1+x} \left (\frac {1+x}{x} \right)\\ \left(\frac {x^2}{(1+x)^2} \right)S  &=& 1 + \frac{4}{x}\\ S &=& \frac {x+4}{x} \cdot \frac {(1+x)^2}{x^2} \end{eqnarray*}$$

,

จาก $S = \frac {27}{4}$ จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \frac {x+4}{x} \cdot \frac {(1+x)^2}{x^2} &=& \frac {27}{4}\\ 4(x+4)(1+x)^2 &=& 27x^3 \\ 4(x+4)(x^2 + 2x + 1) &=& 27x^3\\ 4x^3 + 24x^2 + 36x + 16 &=& 27x^3 \end{eqnarray*}$$

จัดรูปจะได้

$$\begin{eqnarray*} 23x^3 - 24x^2 - 36x - 16 &=& 0\\ (x - 2)(23x^2 + 22x + 8) &=& 0\\ x &=& 2 \end{eqnarray*}$$