โจทย์ข้อนี้วิธีที่สะดวกที่สุดคือการแทนค่าลงไปตรงๆ เลย

,

$(x-1)\star(x+1)=(x\star x)-1$

จัดรูปฝั่งซ้าย $(L.S.)$

$$\begin{eqnarray*} (x-1)\star(x+1)\\ &=& [(x-1)+1][(x+1)+1] - 1\\ &=& (x)(x+2) - 1\\ &=& x^2+2x-1 \end{eqnarray*}$$

จัดรูปฝั่งขวา $(R.S.)$

$$\begin{eqnarray*} (x\star x)-1\\ &=& [(x+1)(x+1) - 1] - 1\\ &=& (x+1)(x+1) - 2\\ &=& x^2+2x-1 \end{eqnarray*}$$

$L.S. = R.S.$ ดังนั้นตัวเลือก $A$ ถูกต้อง

,

$x\star (y+2)=(x\star y)+(x\star 2)$

จัดรูปฝั่งซ้าย $(L.S.)$

$$\begin{eqnarray*} x\star (y+2)\\ &=& (x+1)(y+2+1) - 1\\ &=& (x+1)(y+3) - 1\\ &=& xy + 3x + y + 2 \end{eqnarray*}$$

จัดรูปฝั่งขวา $(R.S.)$

$$\begin{eqnarray*} (x\star y)+(x\star 2)\\ &=& [(x+1)(y+1) - 1] + [(x+1)(2+1) - 1]\\ &=& (xy + x + y) + (3x + 2)\\ &=& xy + 4x + y + 2 \end{eqnarray*}$$

$L.S. \neq R.S.$ ดังนั้นตัวเลือก $B$ ผิด

,

$x\star (y\star2)=(x\star y)\star 2$

จัดรูปฝั่งซ้าย $(L.S.)$

$$\begin{eqnarray*} x\star (y\star2)\\ &=& x\star [(y+1)(2+1) - 1]\\ &=& x\star (3y+2)\\ &=& (x+1)(3y+2+1) - 1\\ &=& 3xy + 3x + 3y + 2 \end{eqnarray*}$$

จัดรูปฝั่งขวา $(R.S.)$

$$\begin{eqnarray*} (x\star y)\star 2\\ &=& [(x+1)(y+1) - 1] \star 2\\ &=& (xy+x+y) \star 2\\ &=& (xy+x+y+1)(2+1) - 1\\ &=& 3xy + 3x + 3y + 2 \end{eqnarray*}$$

$L.S. = R.S.$ ดังนั้นตัวเลือก $C$ ถูกต้อง

,

$x\star(x\star y)=(x+1)(x\star y)+x$

จัดรูปฝั่งซ้าย $(L.S.)$

$$\begin{eqnarray*} x\star(x\star y)\\ &=& x\star(xy+x+y)\\ &=& (x+1)(xy+x+y+1) - 1\\ &=& x^2y + x^2 + 2xy + 2x + y \end{eqnarray*}$$

จัดรูปฝั่งขวา $(R.S.)$

$$\begin{eqnarray*} (x+1)(x\star y)+x\\ &=& (x+1)(xy+x+y) + x\\ &=& x^2y + x^2 + 2xy + 2x + y \end{eqnarray*}$$

$L.S. = R.S.$ ดังนั้นตัวเลือก $D$ ถูกต้อง