,

โจทย์กำหนดให้ $\forall{x}\left[P(x)\right]\wedge \forall x\left[ \sim Q(x) \right]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ประพจน์เชื่อมด้วยตัวเชื่อม "และ" ($\wedge$) ซึ่งจะเป็นจริงได้ทั้งประพจน์หน้าและหลังจะต้องมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่

ดังนั้นจึงได้ว่า ประพจน์ $\forall{x}\left[P(x)\right]$ และ $\forall x\left[ \sim Q(x) \right]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

$1.)$ ประพจน์ $\forall{x}\left[P(x)\right]$ เป็นจริงหมายความว่า $x$ ทุกตัวทำให้ $P(x)$ เป็นจริง

นั่นคือมี $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง จึงทำให้ $\exists{x}\left[P(x)\right]$ เป็นจริงด้วยเช่นกัน 

$2.)$ ประพจน์ $\forall x\left[ \sim Q(x) \right]$ เป็นจริงหมายความว่า $x$ ทุกตัวทำให้ $\sim Q(x)$ เป็นจริง

แสดงว่า $x$ ทุกตัวทำให้ $Q(x)$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ในทำนองเดียวกันกับข้อ $1.)$ เราจึงสรุปได้ว่า $\exists x\left[ \sim Q(x) \right]$ มีค่าความจริงเป็นจริงด้วยเช่นกัน

สรุปได้ว่า $x$ ทุกตัวทำให้ $P(x)$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $x$ ทุกตัวทำให้ $Q(x)$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

,

ตัวเลือก $A.)$ $\forall x \left[ P(x)\Rightarrow Q(x) \right]$
เนื่องจาก $x$ ทุกตัวทำให้ $P(x)$ เป็นจริง และ $Q(x)$ เป็นเท็จ เพราะฉะนั้นข้อนี้ประพจน์เลยเป็น $T \rightarrow F$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตรงกับที่โจทย์ต้องการ เพราะฉะนั้นข้อนี้ตอบ $A.)$ ได้เลย

ในทำนองเดียวกัน จะได้ประพจน์ในตัวเลือก $B.) , C.)$ และ $D.)$ เป็นดังนี้

ตัวเลือก $B.)$ $\exists x \left[ \sim P(x) \vee \sim Q(x) \right]$ สมมูลกับประพจน์ $\sim T \vee \sim F$ ซึ่งก็คือ $F \vee T$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวเลือก $C.)$ $\exists x \left[ P(x)\wedge\sim Q(x) \right]$ สมมูลกับประพจน์ $T \wedge\sim F$ ซึ่งก็คือ $T \wedge T$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวเลือก $D.)$ $\forall x \left[ P(x)\Rightarrow\sim Q(x)\right]$ สมมูลกับประพจน์ $T \rightarrow\sim F$ ซึ่งก็คือ $T \rightarrow T$ มีค่าความจริงเป็นจริง