,

การจะหาคำตอบที่โจทย์ต้องการด้วยวิธีตรงๆ บางครั้งอาจจะยุ่งยากและเสียเวลามากเกินไป 

อย่างเช่นข้อนี้ ถ้าเรานั่งคิดกรณีที่ $GAT$ กับ $PAT$ นั่งไม่ติดกันจะเสียเวลามาก

เพราะฉะนั้นเราจะคิดแบบทั้งหมดลบตรงข้าม นั่นก็คือกรณีทั้งหมด ลบด้วยกรณีที่ $GAT$ กับ $PAT$ นั่งติดกันจะง่ายกว่า

,

กรณีคนทั้งหมด $12$ คนนั่งรอบโต๊ะกลม จะเกิดการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันทั้งหมด $(12-1)!$ หรือก็คือ $11!$ วิธีนั่นเอง

เพราะฉะนั้น $n(S) = 11!$

,

กรณีที่ $GAT$ กับ $PAT$ นั่งติดกัน เราจึงมัดสองคนไว้เป็นก้อนเดียวกันนับเป็น $1$ คน รวมกับ $10$ คนที่เหลือจึงรวมเป็น $11$ กลุ่ม

ดังนั้น $11$ กลุ่มนี้มานั่งรอบโต๊ะกลม จะเกิดการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันทั้งหมด $(11-1)!$ หรือก็คือ $10!$ วิธี

ในก้อนของ $GAT$ กับ $PAT$ เราสามารถสลับที่สองคนนี้ได้อีก $2!$ วิธี

ดังนั้น $n(E') = 10!\cdot 2!$ วิธี

,

แทนค่าที่เราหาได้ทั้งหมดลงไป จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} P(E) &=& \frac {n(E)}{n(S)}\\ &=& \frac {n(S) - n(E')}{n(S)}\\ &=& \frac {11! - 2(10!)}{11!}\\ &=& \frac {10! (11-2)}{11!} \end{eqnarray*}$$

จัดรูปต่อ

$$\begin{eqnarray*} P(E) &=& \frac {9 \cdot 10!}{11 \cdot 10!}\\ &=& \frac {9}{11} \end{eqnarray*}$$