,

จากข้อความที่ว่า $N$ มีระยะตัดแกน $y$ เท่ากับ $\frac52$ หน่วย นั้นหมายความว่า $N$ ผ่านจุด $(0,\frac 52)$

เพราะฉะนั้นถ้าเราหาความชันของ $N$ ได้ เราก็จะได้สมการเส้นตรงทันที

จาก $f(a) = a^{\frac 23}$ ดังนั้น เส้นตรง $N$ จึงผ่านจุด $(a , a^{\frac 23})$ นั่นเอง

เราจะหาความชันของสมการเส้นสัมผัสของ $f(x)$ เพราะถ้าเรารู้ความชันนี้ เราก็จะหาความชันของ $N$ ได้

เพราะสองค่าความชันนี้ตั้งฉากกันจึงต้องคูณกันได้ค่าเท่ากับ $-1$

จากสมบัติที่ว่า ความชันของเส้นสัมผัส $f(x)$ ที่จุด $x = a$ เท่ากับ $f'(a)$

หา $f'(x)$ ออกมาก่อนจะได้

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& x^{\frac 23}\\ f'(x) &=& \frac 23 x^{(\frac 23 - 1)}\\ f'(x) &=& \frac {2}{3x^{\frac 13}}\\ f'(a) &=& \frac {2}{3a^{\frac 13}} \end{eqnarray*}$$

ให้ $m_f$ และ $m_N$ เป็นความชันเส้นสัมผัสของ $f$ ที่ $x=a$ และความชันของเส้นตรง $N$ ตามลำดับ

ดังนั้นจากสมบัติความชันเส้นตั้งฉาก และ $m_f = f'(a) = \frac {2}{3a^{\frac 13}}$ ได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} m_f \cdot m_N &=& -1\\ \frac {2}{3a^{\frac 13}} \cdot m_N &=& -1\\ m_N &=& - \frac {3a^{\frac 13}}{2} \end{eqnarray*}$$

นำความชัน $m_N$ และจุดที่ผ่านเส้นตรง $N$ คือ $(a , a^{\frac 23})$ มาแทนในสมการเส้นตรง จะได้ว่าจาก

$$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m (x - x_1)\\ y - a^{\frac 23} &=& \left(- \frac {3a^{\frac 13}}{2}\right)(x - a)\\ \end{eqnarray*}$$

และ $N$ ผ่านจุด $(0 , \frac 52)$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \frac 52 - a^{\frac 23} &=& \left(- \frac {3a^{\frac 13}}{2}\right)(0 - a)\\ 5 - 2a^{\frac 23} &=& 3a^{\frac 43}\\ 3a^{\frac 43} + 2a^{\frac 23} - 5 &=& 0\\ (3a^{\frac 23} + 5)(a^{\frac 23} - 1) &=& 0\\ a^{\frac 23} &=& -\frac 53 , 1 \end{eqnarray*}$$

แต่ $a^{\frac 23} > 0$ เสมอ ดังนั้น $a^{\frac 23} = 1$ และทำให้ $a = 1$

ดังนั้น $m_N = -\frac 32$ และผ่านจุด $(1 , 1)$ ดังนั้น

สมการของ $N$ คือ $y = -\frac 32 x + \frac 52$

,

เมื่อเช็คตัวเลือกในโจทย์พบกว่าเมื่อนำพิกัด $(x,y)$ ในแต่ละตัวเลือกไปแทนลงในสมการ $N$

จะมีอยู่ตัวเลือกเดียวที่ผ่านคือจุด $(-1 , 4)$