,

จาก $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{201}=303$

เปลี่ยนให้เป็นรูปอนุกรมเลขคณิตปกติ เมื่อให้ $d$ เป็นผลต่างร่วมจะได้

$$\begin{eqnarray*} a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{201} &=&303\\ a_1 + (a_1 + 2d) + \cdots + (a_1 + 200d) &=& 303\\ 101a_1 + (2+4+\cdots+200)d &=& 303 \end{eqnarray*}$$

จาก $2+4+\cdots+200$ เราสามารถดึงตัวร่วม $2$ ออกมาได้เป็น $2 (1+2+\cdots+100)$

จาก $1+2+\cdots+ n = \frac {n(n+1)}{2}$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} 2+4+\cdots+200 &=& 2 (1+2+\cdots+100)\\ &=& 2 \left(\frac {(100)(101)}{2} \right)\\ &=& 100(101) \end{eqnarray*}$$

ทำต่อจะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} 101a_1 + (100)(101)d &=& 303\\ a_1 + 100d &=& 3 \end{eqnarray*}$$

,

สิ่งที๋โจทย์ถามคือ $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{200}$

แปลงให้อยู่ในรูปที่คล้ายๆกัน จะได้

$$\begin{eqnarray*} a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{200} &=& (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + \cdots + (a_1 + 199d)\\ &=& 100a_1 + (1+3+\cdots+199)d\\ &=& 100a_1 + ((1+199) + (3+197) + \cdots + (99 +101))d\\ \end{eqnarray*}$$

แต่ละวงเล็บบวกกันได้ $200$ และมีจำนวน $50$ วงเล็บพอดี ดังนั้นผลรวมมีค่าเท่ากับ $(200)(50)$ นั่นเอง

$$\begin{eqnarray*} &=& 100a_1 + (200)(50)d\\ &=& 100(a_1 + 100d) \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $a_1 + 100d = 3$ ลงไป จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} &=& 100(3)\\ &=& 300 \end{eqnarray*}$$