,

การแก้สมการที่มีเลขชี้กำลังตั้งแต่สองขึ้นไป และรูปสมการสามารถเปลี่ยนเป็นรูปเชิงขั้วได้

จะทำให้ง่ายต่อการแก้สมการ โดยจาก $i = \cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2}$

ดังนั้นกลายเป็น  $(z+2i)^3=8(\cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2})$

และทำให้

$$\begin{eqnarray*} z+2i &=& (8)^{\frac 13}(\cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2})^{\frac 13}\\ &=& 2(\cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2})^{\frac 13} \end{eqnarray*}$$

,

ต่อไปจะถอดรากที่สามของ $\cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2}$

ให้ $(\cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2})^{\frac 13} = w$

จากทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า $z = \cos \theta +i\sin \theta$ แล้วรากที่ $n$ ของ $z$ จะมีทั้งหมด $n$ รากคือ

$w = \cos \left(\frac {\theta + 2k\pi}{n} \right) + i\sin \left(\frac {\theta + 2k\pi}{n} \right)$ เมื่อ $k = 0 , 1 , \cdots , n-1$

ดังนั้นรากที่สามของ $\cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2}$

คือ $w = \cos \left(\frac {\frac {\pi}{2} + 2k\pi}{3} \right) + i\sin \left(\frac {\frac {\pi}{2} + 2k\pi}{3} \right)$ เมื่อ $k = 0 , 1 , 2$

เมื่อ $k = 0$  ได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} w &=& \cos \left(\frac {\frac {\pi}{2}}{3} \right) + i\sin \left(\frac {\frac {\pi}{2}}{3} \right)\\ &=& \cos \frac {\pi}{6} + i\sin \frac {\pi}{6}\\ &=& \frac {\sqrt 3 + i}{2} \end{eqnarray*}$$

เมื่อ $k = 1$  ได้ว่า 

$$\begin{eqnarray*} w &=& \cos \left(\frac {\frac {\pi}{2} + 2\pi}{3} \right) + i\sin \left(\frac {\frac {\pi}{2} + 2\pi}{3} \right)\\ &=& \cos \frac {5\pi}{6} + i\sin \frac {5\pi}{6}\\ &=& \frac {-\sqrt 3 + i}{2} \end{eqnarray*}$$

เมื่อ $k = 2$  ได้ว่า 

$$\begin{eqnarray*} w &=& \cos \left(\frac {\frac {\pi}{2} + 4\pi}{3} \right) + i\sin \left(\frac {\frac {\pi}{2}+4\pi}{3} \right)\\ &=& \cos \frac {3\pi}{2} + i\sin \frac {3\pi}{2}\\ &=& -i \end{eqnarray*}$$

,

จาก $z + 2i = 2w$ แทนค่า $w$ ลงไปได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} z + 2i &=& 2(\frac {\sqrt 3 + i}{2})  ,  2(\frac {-\sqrt 3 + i}{2})  ,  2(-i)\\ &=& \sqrt3 + i , -\sqrt 3 + i , -2i\\ z &=& \sqrt3 - i , -\sqrt3 - i , -4i \end{eqnarray*}$$

,

ที่โจทย์ต้องการทราบจะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} |z_1| + |z_2| + |z_3| &=& |\sqrt3 - i| + |-\sqrt3 - i| + |-4i|\\ &=& \sqrt {(\sqrt 3)^2 + 1} + \sqrt {(- \sqrt 3)^2 + 1}  + 4\\ &=& 2 + 2 + 4\\ &=& 8 \end{eqnarray*}$$