,

จากสมการ $A^2B=I$ และ $2A^{-1}-3B=I$ 

เมื่อพิจารณาสิ่งที่โจทย์ถามพบว่าเราไม่จำเป็นต้องหาเมตริกซ์ $B$ ออกมาดังนั้นจึงต้องพยายามเปลี่ยน $B$ ให้อยู่ในรูป $A$ และ $I$

จากสมการแรกที่ว่า $A^2B=I$ เราจึงคูณ $A^2$ ทางด้านซ้ายตลอดสมการที่ $2$ เพื่อให้ในสมการที่ $2$ จะเกิดรูป $A^2B$ ซึ่งจะเปลี่ยนรูปเป็น $I$ ได้

จะได้ว่าจาก  $2A^{-1}-3B=I$ คูณ $A^2$ ทางด้านซ้ายตลอดสมการ จะได้  

$$\begin{eqnarray*} A^2(2A^{-1}-3B) &=& A^2(I)\\ 2(A^2)A^{-1}-3(A^2)B &=& (A^2)I\\ 2A - 3I &=& A^2 \end{eqnarray*}$$

,

จากขั้นตอนแรก เราได้สมการ $2A - 3I = A^2$

เพราะฉะนั้นเราจะหาค่า $A^2$ ออกมาก่อนดังนี้

$$\begin{eqnarray*} A^2=\left[ \begin{array}{cc}0&3\\a&b\end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}0&3\\a&b\end{array} \right] &=& \left[ \begin{array}{cc}(0)(0)+(3)(a)&(0)(3)+(3)(b)\\(a)(0)+(b)(a)&(a)(3)+(b)(b)\end{array} \right]\\ &=& \left[ \begin{array}{cc}3a&3b\\ab&3a+b^2\end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

นำไปแทนในสมการ จะได้เป็น

$$\begin{eqnarray*} 2\left[ \begin{array}{cc}0&3\\a&b\end{array} \right] - 3\left[ \begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array} \right] &=& \left[ \begin{array}{cc}3a&3b\\ab&3a+b^2\end{array} \right]\\ \left[ \begin{array}{cc}0&6\\2a&2b\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc}3&0\\0&3\end{array} \right] &=& \left[ \begin{array}{cc}3a&3b\\ab&3a+b^2\end{array} \right]\\ \left[ \begin{array}{cc}-3&6\\2a&2b-3\end{array} \right] &=& \left[ \begin{array}{cc}3a&3b\\ab&3a+b^2\end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

เทียบตำแหน่งที่ตรงกันของเมทริกซ์ทางซ้ายกับทางขวา จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} -3 &=& 3a\\ 6 &=& 3b\\ 2a &=& ab\\ 2b-3 &=& 3a+b^2 \end{eqnarray*}$$

จาก $-3=3a$ จะได้ว่า $a=-1$

และจาก $6=3b$ จะได้ว่า $b=2$

ดังนั้น $2a+3b = 2(-1) + 3(2) = -2 + 6 = 4$