กำหนดให้วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น $x^2 + Ay^2 +Bx + Cy -92 = 0$  โดยที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(2,1)$  และแกนเอกยาวเป็น $2$ เท่าของแกนโท ข้อใดต่อไปนี้กล่าวถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]สร้างสมการรูปทั่วไปของวงรีแนวนอนที่แกนเอกยาวเป็นสองเท่าของแกนโท[/STEP]

สมมุติให้แกนเอกยาว $2a$ และแกนโทยาว $2b$

แกนเอกยาวเป็น $2$ เท่าของแกนโท

นั่นคือ $a=2b$ ดังนั้น แกนเอกยาว $2a=2(2b) = 4b$

สมการรูปแบบของวงรีแนวนอนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,1)$ และมีแกนเอกยาว $4b$ และแกนโทยาว $2b$ คือ

$$\frac{\left(x-2\right)^{2}}{\left(2b\right)^{2}}+\frac{\left(y-1\right)^{2}}{b^{2}}=1$$

คูณตลอดด้วย $4b^2$ เพื่อจัดให้อยู่ในรูปทั่วไปจะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\left(x-2\right)^{2}}{\left(2b\right)^{2}}+\frac{\left(y-1\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1\\
4b^{2}\cdot\frac{\left(x-2\right)^{2}}{4b^{2}}+4b^{2}\cdot\frac{\left(y-1\right)^{2}}{b^{2}} & = & 4b^{2}\cdot1\\
\left(x-2\right)^{2}+4\left(y-1\right)^{2} & = & 4b^{2}\\
x^{2}-4x+4+4\left(y^{2}-2y+1\right) & = & 4b^{2}\\
x^{2}+4y^{2}-4x-8y+8-4b^{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

[STEP]เทียบสัมประสิทธิ์ของสมการที่ได้กับสมการวงรีที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

$$\begin{array}{ccccccc}
x^{2} & +4y^{2} & -4x & -8y & +8-4b^{2} & = & 0\\
x^{2} & +Ay^{2} & +Bx & +Cy & -92 & = & 0
\end{array}$$

ดังนั้นเราจึงได้ค่าของ $A,B$ และ $C$ จากการเทียบสัมประสิทธิ์ดังนี้

\begin{eqnarray*}
A & = & 4\\
B & = & -4\\
C & = & -8
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
A+B+C &=& 4+(-4)+(-8)\\
&=& -8\\
A+B+C &\neq & 0\\
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อ A. กล่าวผิด

และอีกสมการที่สามารถหาค่า $b$ ได้

\begin{eqnarray*}
8-4b^{2} & = & -92\\
8+92 & = & 4b^{2}\\
100 & = & 4b^{2}\\
b^{2} & = & \frac{100}{4}\\
b^{2} & = & 25\\
b & = & 5
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $$a=2b=2(5)=10$$

ดังนั้นสมการของวงรี คือ

$$\frac{\left(x-2\right)^{2}}{10^{2}}+\frac{\left(y-1\right)^{2}}{5^{2}}=1$$

[STEP]คำนวณค่า $c$ และความเยื้องศูนย์กลางของวงรี[/STEP]

จากสมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b,c$ ของวงรี แทนค่า $a=10,b=5$ จะได้

\begin{eqnarray*}
b^{2}+c^{2} & = & a^{2}\\
c^{2} & = & a^{2}-b^{2}\\
c^{2} & = & \left(10\right)^{2}-\left(5\right)^{2}\\
c^{2} & = & 100-25\\
c^{2} & = & 75\\
c & = & \sqrt{75}\\
c & = & 5\sqrt{3}
\end{eqnarray*}

ความเยื้องศูนย์กลาง คือ ค่า $\frac{c}{a}$ 

\begin{eqnarray*}
\text{ความเยื้องศูนย์กลาง} & = & \frac{c}{a}\\
 & = & \frac{5\sqrt{3}}{10}\\
 & = & \frac{\cancel{5}\sqrt{3}}{\cancelto{2}{10}}\\
 & = & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อ B. กล่าวผิด

[STEP]หาจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีของวงกลมใน C.[/STEP]

ทำกำลังสองสัมบูรณ์สมการวงกลมในข้อ C. 

\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}-4x-2y-20 & = & 0\\
\left(x^{2}-4x+\qquad\right)+\left(y^{2}-2y+\qquad\right) & = & 20\\
\left(x^{2}-4x+2^{2}\right)+\left(y^{2}-2y+1\right) & = & 20+2^{2}+1\\
\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2} & = & 20+4+1\\
\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2} & = & 25\\
\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2} & = & 5^{2}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าวงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,1)$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางเดียวกันกับของวงรี แต่รัศมีของวงกลมที่มีความยาวเท่ากับ $5$ หน่วย ไม่เท่ากับความยาวแกนเอก ซึ่งยาว $2a=2(10) = 20$ หน่วย

ดังนั้น ข้อ C. ผิด

[STEP]ตรวจสอบระยะทางจาก $(2,6)$ ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี[/STEP]

จากการที่วงรีแนวนอนนี้มีจุดยอดของวงรีอยู่ที่ $(2,1)$ และ $b=5$ ทำให้ทราบว่าจุด $(2,6)$ เป็นจุดปลายด้านหนึ่งของแกนโทของวงรีพอดี

\begin{eqnarray*}
\left(2,1+b\right) & = & \left(2,1+5\right)\\
 & = & \left(2,6\right)
\end{eqnarray*}

ดังนั้นผลรวมระยะทางจากจุด $(2,6)$ ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองรวมกันแล้วมีค่าเท่ากันกับทุกๆ จุดบนวงรี (ตามนิยามของวงรี) นั่นคือ ยาวรวมกันเท่ากับ $2a=2(10)=20$ หน่วย

ดังนั้นข้อ D. ถูก

[ANS]D. ผลบวกของระยะทางจากจุด $(2,6)$ ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรีเท่ากับ $20$ หน่วย[/ANS]

ข้อนี้โจทย์ควรจะบอกว่าเป็น "วงรีแนวนอน" มิเช่นนั้น ถ้าหากคิดว่าเป็นวงรีแนวตั้ง(ซึ่งเป็นไปได้ตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้) แล้วจะทำให้ไม่มีคำตอบ

 

ในการคำนวณความเยื้องศูนย์กลางของวงรีนี้ แม้เราไม่ทราบค่าที่แท้จริงของ $a$ กับ $b$ ก่อนก็ยังสามารถคำนวณความเยื้องศูนย์กลางได้จากความสัมพันธ์ที่บอกว่าแกนเอกยาวเป็นสองเท่าของแกนโท ($a=2b$) แทน $b=\frac{a}{2}$ ลงในสมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b,c$ 

\begin{eqnarray*}
b^{2}+c^{2} & = & a^{2}\\
\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+c^{2} & = & a^{2}\\
c^{2} & = & a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\\
c^{2} & = & \frac{4a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}\\
c^{2} & = & \frac{3a^{2}}{4}\\
\frac{c^{2}}{a^{2}} & = & \frac{3}{4}\\
\frac{c}{a} & = & \sqrt{\frac{3}{4}}\\
\text{ ความเยื้องศูนย์กลาง } & = & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้สมการวงรีแนวตั้งที่ไม่มีช้อยส์ใดถูกต้องเลย

 

ในขั้นตอนการหาระยะทางจากจุด $M(2,6)$ ไปยังจุดโฟกัสทั้งสอง คือ จุด $F_1(2-5\sqrt3,1)$ กับ $F_2(2+5\sqrt3,1)$ เราสามารถคำนวณตรงๆ ได้เช่นเดียวกัน นั่น คือ

\begin{eqnarray*}
MF_{1} & = & \sqrt{\left(2-\left(2-5\sqrt{3}\right)\right)^{2}+\left(6-1\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{\left(5\sqrt{3}\right)^{2}+5^{2}}\\
 & = & \sqrt{75+25}\\
 & = & \sqrt{100}\\
 & = & 10
\end{eqnarray*}

 

และ

\begin{eqnarray*}
MF_{2} & = & \sqrt{\left(2-\left(2+5\sqrt{3}\right)\right)^{2}+\left(6-1\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{\left(-5\sqrt{3}\right)^{2}+5^{2}}\\
 & = & \sqrt{75+25}\\
 & = & \sqrt{100}\\
 & = & 10
\end{eqnarray*}

ซึ่งรวมกันได้เท่ากับ $20$ หน่วยเช่นเดียวกัน

ความรู้ที่ใช้ : การสร้างสมการวงรี