,

จากสมการพาราโบลา $4y=x^2-6x+13$ ทำกำลังสองสัมบูรณ์ได้

\begin{eqnarray*}
4y & = & \left(x^{2}-6x\right)+13\\
4y & = & \left(x^{2}-6x+3^{2}\right)+13-3^{2}\\
4y & = & \left(x-3\right)^{2}+13-9\\
4y & = & \left(x-3\right)^{2}+4\\
4y-4 & = & \left(x-3\right)^{2}\\
4\left(y-1\right) & = & \left(x-3\right)^{2}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่าพาราโบลารูปนี้เป็นพาราโบลาเปิดแนวตั้ง(อ้อมแกน $y$) เพราะตัวแปร $y$ มีกำลังเป็นหนึ่ง และเราทราบว่าเป็นพาราโบลาหงายเพราะสัมประสิทธิ์หน้าพจน์$4(y-1)$ คือ เลข $4$  มีค่าเป็นบวก โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด $(3,1)$ ดังรูป

ส่วนจุดโฟกัสของพาราโบลารูปนี้ จะต้องดึง $4$ ออกจากสัมประสิทธิ์หน้า $(y-1)$ จึงจะทราบค่า $c$ ซึ่งเป็นระยะระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส

\begin{eqnarray*}
4\left(y-1\right) & = & \left(x-3\right)^{2}\\
4\left(1\right)\left(y-1\right) & = & \left(x-3\right)^{2}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $c=1$ นั่นคือ จุดโฟกัสอยู่ห่างจากจุดยอด $(3,1)$ ขึ้นไปทางด้านบวกของแกน $y$ เป็นระยะทางเท่ากับ $c=1$ จะได้จุดโฟกัสเท่ากับ $F(3,2)$ ดังรูป

,

แกนตามขวางขนานกับแกน $y$ 
แสดงว่าเป็นไฮเพอร์โบลาเปิดบนล่าง

และมีสมการในรูปแบบเดียวกับ $$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$

จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู่ที่ $F$ 
จะได้ จุดยอดเป็น $(h,k)=(3,2)$ แทนค่าลงในสมการรูปแบบด้านบนจะได้

$$\frac{(y-2)^2}{a^2} - \frac{(x-3)^2}{b^2} = 1$$

โฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอร์โบลา คือ $\left(3,2+2\sqrt{13}\right)$ 
จะได้ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสจุดหนึ่งเท่ากับ

$$\left(2+2\sqrt{13}\right)-2=2\sqrt{13}$$

ซึ่งระยะที่ว่านี้มีค่าเท่ากับตัวแปร $c=2\sqrt{13}$

แกนสังยุคยาว $12$ หน่วย 

เนื่องจากแกนสังยุคยาวเท่ากับ $2b$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
2b & = & 12\\
b & = & \frac{12}{2}\\
b & = & 6
\end{eqnarray*}

จากสมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b,c$ ของสมการไฮเพอร์โบลา $c^2 - a^2 =b^2$ แทนค่า $c=2\sqrt{13}$ และ $b=6$ จะได้ค่า $a$

\begin{eqnarray*}
c^{2}-a^{2} & = & b^{2}\\
\left(2\sqrt{13}\right)^{2}-a^{2} & = & \left(6\right)^{2}\\
52-a^{2} & = & 36\\
52-36 & = & a^{2}\\
16 & = & a^{2}\\
a & = & 4
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงทราบค่าของ $a=4$ และ $b=6$ เมื่อแทนลงไปในสมการต้นแบบจะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\left(y-2\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(x-3\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1\\
\frac{\left(y-2\right)^{2}}{4^{2}}-\frac{\left(x-3\right)^{2}}{6^{2}} & = & 1\\
\frac{\left(y-2\right)^{2}}{16}-\frac{\left(x-3\right)^{2}}{36} & = & 1
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยการคูณตลอดด้วย $144$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\left(y-2\right)^{2}}{16}-\frac{\left(x-3\right)^{2}}{36} & = & 1\\
144\times\frac{\left(y-2\right)^{2}}{16}-144\times\frac{\left(x-3\right)^{2}}{36} & = & 144\times1\\
\cancelto{9}{144}\times\frac{\left(y-2\right)^{2}}{\cancel{16}}-\cancelto{4}{144}\times\frac{\left(x-3\right)^{2}}{\cancel{36}} & = & 144\\
9\left(y-2\right)^{2}-4\left(x-3\right)^{2} & = & 144
\end{eqnarray*}

กระจายกำลังสองของทั้งสองวงเล็บ กระจายสัมประสิทธิ์เข้าในวงเล็บจะได้

\begin{eqnarray*}
9\left(y-2\right)^{2}-4\left(x-3\right)^{2} & = & 144\\
9\left(y^{2}-4y+4\right)-4\left(x^{2}-6x+9\right) & = & 144\\
9y^{2}-36y+36-4x^{2}+24x-36 & = & 144\\
9y^{2}-36y-4x^2+24x &=& 144\\
\end{eqnarray*}

ย้ายทุกพจน์ไปด้านขวาของสมการ

$$0  =  4x^{2}-9y^{2}-24x+36y+144$$