ให้ $A$ แทนเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$\frac{4x}{4x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1$$

และให้ $B$ แทนเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ

$$\left|x^2-2x\right|+x^2>4$$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $A\subset{B}$

(ข) จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของ $A\cap{B}$ เท่ากับ $2$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการของเซต $A$[/STEP]

จากสมการ $\frac{4x}{4x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1$ จะเห็นว่าถ้าเราแก้สมการปรกติ จะต้องมีการปรับส่วนของพหุนามให้เท่ากันและต้องอาศัยการคูณพหุนามจนได้พหุนามกำลังสี่ ซึ่งถือว่าเป็นงานที่มากเกินไปสำหรับโจทย์ที่ให้เวลาประมาณข้อละ $3-5$ นาที ประกอบกับสังเกตุเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนพหุนามทั้งสองมีลักษณะคล้ายกันมาก เราจึงสมมุติให้ $a=4x^2-8x+7$ แล้วค่อยจัดรูปและแก้สมการต่อไป

\begin{eqnarray*}
\frac{4x}{4x^{2}-8x+7}+\frac{3x}{4x^{2}-10x+7} & = & 1\\
\frac{4x}{4x^{2}-8x+7}+\frac{3x}{\left(4x^{2}-8x+7\right)-2x} & = & 1\\
\frac{4x}{a}+\frac{3x}{a-2x} & = & 1
\end{eqnarray*}

จากนั้นย้าย $1$ มาทางด้านซ้าย และปรับส่วนของพหุนามนี้ให้เท่ากัน

\begin{eqnarray*}
\frac{4x}{a}+\frac{3x}{a-2x}-1 & = & 0\\
\frac{4x}{a}\cdot\frac{a-2x}{a-2x}+\frac{3x}{a-2x}\cdot\frac{a}{a}-1\cdot\frac{a-2x}{a-2x}\cdot\frac{a}{a} & = & 0\\
\frac{4x\left(a-2x\right)+3ax-\left(a-2x\right)a}{a\left(a-2x\right)} & = & 0\\
\frac{\left(4ax-8x^{2}\right)+3ax-\left(a^{2}-2ax\right)}{a\left(a-2x\right)} & = & 0\\
\frac{4ax-8x^{2}+3ax-a^{2}+2ax}{a\left(a-2x\right)} & = & 0\\
\frac{-8x^{2}+9ax-a^{2}}{a\left(a-2x\right)} & = & 0
\end{eqnarray*}

 

ตัดตัวส่วนทิ้งไปและโน้ตไว้ว่า $a\neq0$ และ $a\neq2x$ จากนั้นคูณตลอดด้วย $-1$ และแยกตัวประกอบ จะได้

\begin{eqnarray*}
-\left(-8x^{2}+9ax-a^{2}\right) & = & \left(-1\right)0\\
8x^{2}-9ax+a^{2} & = & 0\\
\left(8x-a\right)\left(x-a\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $2$ คำตอบ คือ $8x-a=0$ และ $x-a=0$  จากนั้นจึงแทนค่า $a=4x^2-8x+7$ กลับลงไปในแต่ละกรณีและแก้สมการหาค่า $x$

กรณี $8x-a=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
8x-a & = & 0\\
8x & = & a\\
8x & = & 4x^{2}-8x+7\\
0 & = & 4x^{2}-8x+7-8x\\
4x^{2}-16x+7 & = & 0\\
\left(2x-7\right)\left(2x-1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

 

กรณีนี้จึงได้สองคำตอบ คือ $x=\frac72$ กับ $x=\frac12$ เมื่อลองแทนลงในสมการเริ่มต้นก็จะพบว่าทั้งสองตัวเป็นคำตอบของสมการนี้

กรณี $x-a=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x-a & = & 0\\
x & = & a\\
x & = & 4x^{2}-8x+7\\
0 & = & 4x^{2}-8x+7-x\\
4x^{2}-9x+7 & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อคำนวณตัวตัดสินรากดูแล้วพบว่า

\begin{eqnarray*}
b^{2}-4ac & = & \left(-9\right)^{2}-4\left(4\right)\left(7\right)\\
 & = & 81-112\\
 & = & -31\\
 & < & 0
\end{eqnarray*}

นั่นคือ สมการในกรณีนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงนั่นเอง

จากทั้งสองกรณี จึงสรุปได้ว่า $$A=\left\{ \frac{1}{2},\frac{7}{2}\right\} $$

เพื่อความถูกต้อง ควรแทนค่า $x=\frac12$ และ $x=\frac72$ ลงไปตรวจสอบดูว่า $a\neq0$ และ $x\neq2a$ จริงหรือไม่ ถ้าบังเอิญเท่ากันขึ้นมาก็ต้องตัดคำตอบตัวนั้นๆ ทิ้งไป

[STEP]แทนค่า $x=\frac12$ และ $x=\frac72$ ลงในอสมการเซต $B$[/STEP]

แทนค่า $x=\frac12$ ลงใน $\left| x^2-2x \right| + x^2 > 4$

\begin{eqnarray*}
\left|x^{2}-2x\right|+x^{2} & > & 4\\
\left|\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{1}{2}\right)\right|+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} & > & 4\\
\left|\frac{1}{4}-1\right|+\frac{1}{4} & > & 4\\
\left|-\frac{3}{4}\right|+\frac{1}{4} & > & 4\\
\frac{3}{4}+\frac{1}{4} & > & 4\\
1 & > & 4
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นเท็จ

แทนค่า $x=\frac72$ ลงใน  $\left| x^2-2x \right| + x^2 > 4$

\begin{eqnarray*}
\left|x^{2}-2x\right|+x^{2} & > & 4\\
\left|\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{7}{2}\right)\right|+\left(\frac{7}{2}\right)^{2} & > & 4\\
\left|\frac{49}{4}-7\right|+\frac{49}{4} & > & 4\\
\left|\frac{49-28}{4}\right|+\frac{49}{4} & > & 4\\
\frac{21}{4}+\frac{49}{4} & > & 4\\
\frac{70}{4} & > & \frac{16}{4}
\end{eqnarray*}

 

ซึ่งเป็นจริง อย่างไรก็ตาม $A\not\subset{B}$ เพราะว่า $\frac12\not\in{B}$ จึงสรุปได้ว่า ข้อความ (ก) กล่าวผิด

และในขณะที่ $A\cap{B}=\left\{\frac72\right\}$ มีสมาชิก $1$ ตัว ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
n\left(P\left(A\cap B\right)\right) & = & 2^{n\left(A\cap B\right)}\\
 & = & 2^{1}\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

ข้อความ (ข) จึงกล่าวได้ถูกต้อง

[ANS] B (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก [/ANS]

สำหรับน้องๆ ที่ต้องการทราบวิธีแก้อสมการของเซต $B$ นั้น เราจัดรูปอสมการใหม่เป็นดังนี้

$$ 4 - x^2 < \left| x^2 - 2x \right|$$

จากนั้นแบ่งเป็นสองกรณี คือ

กรณีที่ $4-x^2<0$

กรณีนี้จะได้คำตอบเสมอ เพราะว่าด้านขวาที่มากกว่าติดค่าสัมบูรณ์ซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอนั่นเอง

คูณลบหนึ่งตลอด แล้วแยกตัวประกอบ จะได้

\begin{eqnarray*}
4-x^{2} & < & 0\\
-1\left(4-x^{2}\right) & > & \left(-1\right)0\\
x^{2}-4 & > & 0\\
\left(x-2\right)\left(x+2\right) & > & 0
\end{eqnarray*}

วาดเส้นจำนวนแล้วลงเครื่องหมาย + สลับกับ - จากช่องขวามาทางซ้าย แล้วไฮไลท์ช่วงบวก (เพราะเป็นอสมการเครื่องหมายมากกว่า) จะได้

 

จะได้ส่วนหนึ่งของคำตอบของอสมการนี้ คือ $(-\infty,-2) \cup (2,\infty)$

กรณีที่เหลือ $-2\leq{x}\leq2$

ใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
4-x^{2} & < & \left|x^{2}-2x\right|\\
\left(4-x^{2}\right)^{2} & < & \left|x^{2}-2x\right|^{2}\\
\left(4-x^{2}\right)^{2}-\left(x^{2}-2x\right)^{2} & < & 0\\
\left[\left(4-x^{2}\right)+\left(x^{2}-2x\right)\right]\left[\left(4-x^{2}\right)-\left(x^{2}-2x\right)\right] & < & 0\\
\left[4-2x\right]\left[-2x^{2}+2x+4\right] & < & 0\\
-2\left(x-2\right)\left(-2\right)\left(x^{2}-x-2\right) & < & 0\\
\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right) & < & 0\\
\left(x-2\right)\left[\left(x-2\right)\left(x+1\right)\right] & < & 0\\
\left(x-2\right)^{2}\left(x+1\right) & < & 0
\end{eqnarray*}

เขียนเส้นจำนวน ลงจุด $x=2$ กับ $x=-1$ แล้วเขียนเครื่องหมาย $+,+,-$ จากช่องขวามาทางซ้ายได้

ซึ่งเมื่อนำมายูเนียนกับคำตอบจากกรณีที่แล้วจะได้ 

จึงสรุปว่า $B=(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ นั่นเอง

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเศษส่วนพหุนาม การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์