,

จากสมการ $\frac{4x}{4x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1$ จะเห็นว่าถ้าเราแก้สมการปรกติ จะต้องมีการปรับส่วนของพหุนามให้เท่ากันและต้องอาศัยการคูณพหุนามจนได้พหุนามกำลังสี่ ซึ่งถือว่าเป็นงานที่มากเกินไปสำหรับโจทย์ที่ให้เวลาประมาณข้อละ $3-5$ นาที ประกอบกับสังเกตุเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนพหุนามทั้งสองมีลักษณะคล้ายกันมาก เราจึงสมมุติให้ $a=4x^2-8x+7$ แล้วค่อยจัดรูปและแก้สมการต่อไป

$$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{4x^{2}-8x+7}+\frac{3x}{4x^{2}-10x+7} & = & 1\\ \frac{4x}{4x^{2}-8x+7}+\frac{3x}{\left(4x^{2}-8x+7\right)-2x} & = & 1\\ \frac{4x}{a}+\frac{3x}{a-2x} & = & 1 \end{eqnarray*}$$

จากนั้นย้าย $1$ มาทางด้านซ้าย และปรับส่วนของพหุนามนี้ให้เท่ากัน

$$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{a}+\frac{3x}{a-2x}-1 & = & 0\\ \frac{4x}{a}\cdot\frac{a-2x}{a-2x}+\frac{3x}{a-2x}\cdot\frac{a}{a}-1\cdot\frac{a-2x}{a-2x}\cdot\frac{a}{a} & = & 0\\ \frac{4x\left(a-2x\right)+3ax-\left(a-2x\right)a}{a\left(a-2x\right)} & = & 0\\ \frac{\left(4ax-8x^{2}\right)+3ax-\left(a^{2}-2ax\right)}{a\left(a-2x\right)} & = & 0\\ \frac{4ax-8x^{2}+3ax-a^{2}+2ax}{a\left(a-2x\right)} & = & 0\\ \frac{-8x^{2}+9ax-a^{2}}{a\left(a-2x\right)} & = & 0 \end{eqnarray*}$$

ตัดตัวส่วนทิ้งไปและโน้ตไว้ว่า $a\neq0$ และ $a\neq2x$ จากนั้นคูณตลอดด้วย $-1$ และแยกตัวประกอบ จะได้

$$\begin{eqnarray*} -\left(-8x^{2}+9ax-a^{2}\right) & = & \left(-1\right)0\\ 8x^{2}-9ax+a^{2} & = & 0\\ \left(8x-a\right)\left(x-a\right) & = & 0 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะได้ $2$ คำตอบ คือ $8x-a=0$ และ $x-a=0$  จากนั้นจึงแทนค่า $a=4x^2-8x+7$ กลับลงไปในแต่ละกรณีและแก้สมการหาค่า $x$

กรณี $8x-a=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 8x-a & = & 0\\ 8x & = & a\\ 8x & = & 4x^{2}-8x+7\\ 0 & = & 4x^{2}-8x+7-8x\\ 4x^{2}-16x+7 & = & 0\\ \left(2x-7\right)\left(2x-1\right) & = & 0 \end{eqnarray*}$$

กรณีนี้จึงได้สองคำตอบ คือ $x=\frac72$ กับ $x=\frac12$ เมื่อลองแทนลงในสมการเริ่มต้นก็จะพบว่าทั้งสองตัวเป็นคำตอบของสมการนี้

กรณี $x-a=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} x-a & = & 0\\ x & = & a\\ x & = & 4x^{2}-8x+7\\ 0 & = & 4x^{2}-8x+7-x\\ 4x^{2}-9x+7 & = & 0 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งเมื่อคำนวณตัวตัดสินรากดูแล้วพบว่า

$$\begin{eqnarray*} b^{2}-4ac & = & \left(-9\right)^{2}-4\left(4\right)\left(7\right)\\  & = & 81-112\\  & = & -31\\  & < & 0 \end{eqnarray*}$$

นั่นคือ สมการในกรณีนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงนั่นเอง

จากทั้งสองกรณี จึงสรุปได้ว่า $$A=\left\{ \frac{1}{2},\frac{7}{2}\right\}$$

เพื่อความถูกต้อง ควรแทนค่า $x=\frac12$ และ $x=\frac72$ ลงไปตรวจสอบดูว่า $a\neq0$ และ $x\neq2a$ จริงหรือไม่ ถ้าบังเอิญเท่ากันขึ้นมาก็ต้องตัดคำตอบตัวนั้นๆ ทิ้งไป

,

แทนค่า $x=\frac12$ ลงใน $\left| x^2-2x \right| + x^2 > 4$

$$\begin{eqnarray*} \left|x^{2}-2x\right|+x^{2} & > & 4\\ \left|\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{1}{2}\right)\right|+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} & > & 4\\ \left|\frac{1}{4}-1\right|+\frac{1}{4} & > & 4\\ \left|-\frac{3}{4}\right|+\frac{1}{4} & > & 4\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4} & > & 4\\ 1 & > & 4 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งเป็นเท็จ

แทนค่า $x=\frac72$ ลงใน  $\left| x^2-2x \right| + x^2 > 4$

$$\begin{eqnarray*} \left|x^{2}-2x\right|+x^{2} & > & 4\\ \left|\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{7}{2}\right)\right|+\left(\frac{7}{2}\right)^{2} & > & 4\\ \left|\frac{49}{4}-7\right|+\frac{49}{4} & > & 4\\ \left|\frac{49-28}{4}\right|+\frac{49}{4} & > & 4\\ \frac{21}{4}+\frac{49}{4} & > & 4\\ \frac{70}{4} & > & \frac{16}{4} \end{eqnarray*}$$

ซึ่งเป็นจริง อย่างไรก็ตาม $A\not\subset{B}$ เพราะว่า $\frac12\not\in{B}$ จึงสรุปได้ว่า ข้อความ (ก) กล่าวผิด

และในขณะที่ $A\cap{B}=\left\{\frac72\right\}$ มีสมาชิก $1$ ตัว ดังนั้น 

$$\begin{eqnarray*} n\left(P\left(A\cap B\right)\right) & = & 2^{n\left(A\cap B\right)}\\  & = & 2^{1}\\  & = & 2 \end{eqnarray*}$$

ข้อความ (ข) จึงกล่าวได้ถูกต้อง