,

จากที่โจทย์กำหนดให้ว่า $f(x)$ สัมผัสกับเส้นตรง $5x-y+13=0$ ที่จุด $x=1$ แสดงว่า โจทย์ได้ให้เงื่อนไขในการคำนวณมา $2$ เงื่อนไข

เงื่อนไขที่ $1$ คือ ณ.จุด $x=1$ ความชันของทั้งสองเส้นจะต้องเท่ากัน

เงื่อนไขที่ $2$ คือ ที่จัด $x=1$ ค่าของ $y$ จากเส้นตรง จะต้องเท่ากับค่าของ $y$ ของเส้นโค้ง

ความชันของ $f(x)$ คือ

$$f'(x)=b+3x^2$$

ดังนั้น ความชันของ $f(x)$ ที่จุด $x=1$ คือ

$$f'(1)=b+3$$

และจากเส้นตรง $5x-y+13=0$ จะได้

$$y=5x+13$$

นั้นคือความชันของเส้นตรงคือ $5$

จากเงื่อนไขที่ $1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
b+3&=&5\\
b&=&2
\end{eqnarray*}

จากเส้นตรงเมื่อ $x=1$  จะได้ว่า $y=18$

ดังนั้นจากเงื่อนไขที่ $2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(1)&=&18\\
a+b+1^3&=&18\\
a+2+1&=&18\\
a&=&15
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$f(x)=15+2x+x^3$$

,

\begin{eqnarray*}
\int_0^2f(x)dx&=&\int_0^215+2x+x^3\\
&=&\left[15x+x^2+\frac14x^4\right]_{x=0}^{x=2}\\
&=&\left(15(2)+4+\frac14\cdot16\right)-(0)\\
&=&30+4+4\\
&=&38
\end{eqnarray*}