ถ้า $A$ แทนเซตของคำตอบของสมการ

$$\left|2-2x\right|+\left|x+2\right|=4-x$$

แล้วเซต $A$ เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]แบ่งเป็น $3$ กรณี[/step]

จากค่าสัมบูรณ์ทั้ง $2$ ตัว จะได้จุดแบ่งค่าสัมบูรณ์สองจุดดังนี้

\begin{eqnarray*}
\left|2-2x\right| & = & 0\\
2-2x & = & 0\\
2x & = & 2\\
x & = & 1
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
\left|x+2\right| & = & 0\\
x+2 & = & 0\\
x & = & -2
\end{eqnarray*}

วาดเส้นจำนวนแล้วแบ่งเป็น $3$ กรณีดังนี้

  1. กรณี $x\geq1$
  2. กรณี $-2<x<1$
  3. กรณี $x\leq-2$

[step]แก้สมการกรณี $x\geq1$[/step]

กรณีนี้ $x\geq1$ แสดงว่า $x>-2$ ด้วยเช่นกัน แสดงว่า $\left| x+2 \right| = x+2$

และ

\begin{eqnarray*}
\left|2-2x\right| & = & \left|-2\left(x-1\right)\right|\\
 & = & \left|-2\right|\left|x-1\right|\\
 & = & 2\left|x-1\right|\\
 & = & 2\left(x-1\right)\\
 & = & 2x-2
\end{eqnarray*}

ดังนั้นแทนค่า $\left| x+2 \right|$ ด้วย $x+2$ และแทนค่า $\left| 2-2x \right|$ ด้วย $2x-2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left|2-2x\right|+\left|x+2\right| & = & 4-x\\
\left(2x-2\right)+\left(x+2\right) & = & 4-x\\
2x-\cancel{2}+x+\cancel{2} & = & 4-x\\
3x & = & 4-x\\
4x & = & 4\\
x & = & 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $x=1$ เป็นคำตอบของกรณีนี้เพราะว่า $x=1$ อยู่ในเงื่อนไขของกรณีนี้ (เงื่อนไขบอกว่า $x\geq1$)

ซึ่งเพียงพอที่จะตัดตัวเลือก A กับ B ทิ้งไปได้เลย เพราะ $x=1$ ไม่ได้อยู่ในเซตในตัวเลือกทั้งสอง

[step]แก้สมการกรณี $-2<x<1$[/step]

เนื่องจาก $x>-2$ ดังนั้นจึงได้ $\left| x+2 \right| = x+2$ เช่นเดิม

แต่เนื่องจากคราวนี้ $x<1$ จึงได้ว่า $\left| 2-2x \right|=2-2x$ ซึ่งสลับเครื่องหมายกับกรณีแรกที่ $x\geq1$

แทนค่า $\left|x+2\right|$ ด้วย $x+2$ และแทนค่า $\left| 2-2x \right|$ ด้วย $2-2x$ ลงในสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left|2-2x\right|+\left|x+2\right| & = & 4-x\\
\left(2-2x\right)+\left(x+2\right) & = & 4-x\\
2-2x+x+2 & = & 4-x\\
-x+4 & = & 4-x\\
\cancel{-x}+\bcancel{4} & = & \bcancel{4}\cancel{-x}\\
0 & = & 0
\end{eqnarray*}

จัดรุปสมการแล้วได้ $0=0$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ ดังนั้นกรณีนี้จึงตอบได้ทั้งช่วงของกรณีนี้เลย เซตคำตอบของกรณีนี้จึงเท่ากับ $(-2,1)$

[step]นำเซตคำตอบของ $2$ กรณีแรกมายูเนียนกัน แล้วตัดตัวเลือก[/step]

เมื่อนำเซตคำตอบสองกรณีแรกมายูเนียนกันจะได้

$$\left\{ 1\right\} \cup\left(-2,1\right)=(-2,1]$$

ซึ่งเพียงแค่สองกรณีนี้ก็พบว่า เซตคำตอบของสมการ

  • ไม่เป็นสับเซตของ A $(-4,0)$ เพราะว่าใน $(-4,0)$ ไม่มี $1$
  • ไม่เป็นสับเซตของ B $(-1,1)$ เพราะว่าใน $(-1,1)$ ไม่มี $1$
  • ไม่เป็นสับเซตของ C $(0,4)$ เพราะว่าใน $(0,4)$ ไม่มี $0$ ซึ่งอยู่ในเซตคำตอบ

ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะตอบข้อ D

[ANS] D [/ANS]

ข้อนี้สามารถตัดตัวเลือกได้อย่างง่ายโดยการทดลองแทนค่า $x=0$ และ $x=1$ ลงในสมการแล้วจะพบว่าทั้งคู่เป็นคำตอบของสมการนี้ แต่ไม่เป็นสมาชิกในตัวเลือก A,B และ C จึงสามารถตอบข้อ D ได้เลย

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี