กำหนดให้ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ เป็นข้อมูลชุดที่ $1$ ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $6$  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $2$  ให้ $y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n$ เป็นข้อมูลชุดที่ $2$ โดยที่ $y_i = ax_i+b$ เมื่อ $i=1,2,3,\cdots,n$ และ $a,b$ เป็นจำนวนจริง และ $a>0$ ถ้านำข้อมูลทั้งสองชุดมารวมกัน $$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n$$

พบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $7$ และความแปรปรวนเท่ากับ $21$ แล้วค่าของ $a^2+b^2$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ $2$[/STEP]

จากข้อมูลของชุดที่ $1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\overline{x}_1&=&6\\
S_1^2&=&4
\end{eqnarray*}

จากที่ทำหนดให้ข้อมูลชุดที่ $2$ มีความสัมพันธ์กับข้อมูลชุดที่ $1$ คือ $y_i=ax_i+b$ 

เนื่องจากเราคูณข้อมูลทุกตัวด้วยตัวเลขที่เท่ากันและบวกทุกตัวด้วยตัวเลขที่ทำกัน ทำให้

\begin{eqnarray*}
\overline{x}_2&=&a\overline{x}_1+b\\
&=&6a+b\\
S_2&=&aS_1\\
&=&2a\\
S_2^2&=&4a^2
\end{eqnarray*}

เนื่องจากการบวกและคูณด้วยตัวเลขที่เท่ากันทั้งหมดทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเปลี่ยนเป็นตัวเลขที่คูณเท่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตเดิม และบวกด้วยตัวเลขที่บวก

และการบวกด้วยตัวเลขที่ทำกันทุกตัวไม่มีผลต่อส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่การคูณด้วยตัวเลขจะมีผลต่อส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าสัมบูรณ์ของเลขที่คูณเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเดิม

[STEP]สร้างสมการโดยใช้ ค่าเฉลี่ยเลจคณิตรวม และความแปรปวนรวม[/STEP]

จากข้อมูลที่กำหนดให้จะได้

\begin{eqnarray*}
\overline{x}_{\text{รวม}}&=&\frac{N_1\overline{x}_1+N_2\overline{x}_2}{N_1+N_2}\\
7&=&\frac{n\cdot6+n\cdot(6a+b)}{n+n}\\
7&=&\frac{6n+n(6a+b)}{2n}\\
7&=&\frac{6+6a+b}{2}\\
14&=&6+6a+b\\
8&=&6a+b\qquad\cdots(1)
\end{eqnarray*}

เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองชุดไม่เท่ากันดังนั้นเราจะต้องใช้สูตรการหาความแปรปรวนรวมแบบที่ค่าเฉลี่ยไม่เท่ากัน จะได้

\begin{eqnarray*}
S_{\text{รวม}}^2&=&\frac{N_1S_1^2+N_2S_2^2+N_1(\overline{x}_1-\overline{x}_{\text{รวม}})^2+N_2(\overline{x}_2-\overline{x}_{\text{รวม}})^2}{N_1+N_2}\\
21&=&\frac{n(4)+n(4a^2)+n(6-7)^2+n(6a+b-7)^2}{n+n}\\
21&=&\frac{4+4a^2+1+(6a+b-7)^2}{2}\\
42&=&4+4a^2+1+(6a+b-7)^2\\
37&=&4a^2+(6a+b-7)^2
\end{eqnarray*}

นำ $(1)$ จะได้ $b=8-6a$ แล้วเทนค่าลงใน $2$ 

\begin{eqnarray*}
4a^2+(6a+(8-6a)-7)^2&=&37\\
4a^2+(1)^2&=&37\\
4a^2&=&36\\
a^2&=&9\\
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $a>0$ ดังนั้น $$a=3$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
b&=&8-6a\\
&=&8-6\cdot3\\
&=&-10
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณค่า $a^2+b^2$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a^2+b^2&=&9+(-10)^2\\
&=&9+100
&=&109
\end{eqnarray*}

 

[ANS]$109$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความแปรปรวนรวม