สร้างคำจากอักษร $P, P, P, A, A, A, T, T, T$ โดยไม่คำนึงถึงความหมายโดยที่ตัว P ต้องไม่ติดกัน และตัว T ต้องไม่ติดกันได้กี่วิธี

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แบ่งเป็น $3$ กรณี[/STEP]

เนื่องจากมีกลุ่มของอักษรที่ห้ามติดกันถึงสองกลุ่ม เราจึงใช้นิเสธธรรมดาๆ ช่วยคำนวณไม่ได้

ดังนั้นเราจะแบ่งขั้นตอนการจัดเรียงเป็น $2$ ขั้นตอนตามลำดับต่อไปนี้

  1. จัด $A\,A\,A$ สามตัว กับกลุ่มของ $P$ ลงไปก่อน
  2. จัด $T$ ลงไปแทรกระหว่างสิ่งที่เรียงไว้แล้ว

โดยเราจะแบ่งกรณีตามกลุ่มของ $P$ ในขั้นตอนที่ $1$ นั่นคือเราจะจัดกลุ่มของ $P$ ต่างกันดังนี้

  • $(PTPTP)$ ติดกันสามตัวโดยมี $T$ แทรกอยู่เพื่อไม่ให้ $P$ ติดกันเอง
  • $(PTP)$ แยกกับ $P$
  • $P$ ไม่ติดกันเลย

[STEP]คิดกรณีที่มี $(PTPTP)$ ติดกันเป็นก้อน[/STEP]

กรณีนี้เราจะเรียงของทั้งหมด $4$ อย่าง คือ $(PTPTP)$ ซึ่งนับเป็นก้อนเดียว และ $A$, $A$ กับ $A$

จะเห็นว่าเป็นการเรียงของ $4$ อย่างที่มี $A$ ซ้ำกัน $3$ ตัว ซึ่งจะได้จำนวนวิธีเท่ากับ 

$$\frac{4!}{3!}=4\text{ วิธี}$$

เพื่อความเข้าใจ เราสามารถเขียนทั้ง $4$ วิธีให้เห็นชัดๆ ดังนี้

  1. $(PTPTP)\,A\,A\,A$
  2. $A\,(PTPTP)\,A\,A$
  3. $A\,A\,(PTPTP)\,A$
  4. $A\,A\,A\,(PTPTP)$

จากนั้นเราจะเห็นว่าแต่ละวิธีจะมี $T$ ยังไม่ได้เรียงลงไปเหลืออยู่อีก $1$ ตัว ซึ่งเราสามารถเลือกวาง $T$ ตัวสุดท้ายลงไปได้ $5$ ตำแหน่งดังรูป

ดังนั้นกรณี $(PTPTP)$ นี้ สามารถสร้างคำได้ทั้งหมดเท่ากับ $4\times5 = 20$ คำ

[STEP]คิดกรณีที่มี $(PTP)$ กับ $P$ แยกกัน[/STEP]

กรณีนี้เราจะใช้วิธีวาง $A\,A\,A$ สามตัวลงไปก่อน โดยเว้นช่องว่างระหว่าง $A$ ทั้งสามตัวไว้ จากนั้นนับตำแหน่งระหว่าง $A$ ทั้งสามตัวรวมหัวท้ายได้ทั้งหมด $4$ ตำแหน่งดังรูป

จากนั้นให้ $(PTP)$ เลือกตำแหน่งที่จะลงไประหว่าง $A$ ทั้งสามก่อน ซึ่งสามารถเลือกได้ $4$ วิธี

เมื่อ $(PTP)$ ได้ตำแหน่งใดไปแล้ว ก็ต้องตัดตำแหน่งนั้นทิ้งไป(เพราะเราไม่ต้องการให้ $P$ ติดกัน) เหลือตำแหน่งสำหรับ $P$ ได้เลือกลงอีกเพียง $3$ วิธี

หลังจาก $(PTP)$ กับ $P$ ได้ลงไปแทรกอยู่ระหว่าง $A$ เรียบร้อยแล้วจะมีตัวอย่างลักษณะการจัดเรียงดังแผนภาพ

$$A\,(PTP)\,A\,P\,A$$

เราจะได้ของ $5$ อย่าง(นับ $(PTP)$ เป็น $1$ อย่าง) ที่เรียงเสร็จแล้ว จึงเหลือที่ว่างให้นำ $T$ อีกสองตัวที่เหลือมาแทรกกลางได้อีก $6$ ช่องรวมหัวท้ายด้วยดังรูป

จากนั้นเราจึงให้ $P\,P$ สองตัวที่เหลือ เลือกลงในตำแหน่งเหล่านี้ จาก $6$ ตำแหน่งเลือกมา $2$ ตำแหน่ง ได้ $\displaystyle\binom{6}{2}$ วิธี

สาเหตุที่เลือกลงพร้อมกันแบบ $\binom{6}{2}$ ก็เป็นเพราะว่า $P\,P$ ทั้งสองตัวเหมือนกันทุกประการ ซึ่งต่างจากขั้นตอนที่แล้วที่ $(PTP)$ กับ $P$ นั้นต่างกัน

เมื่อนำจำนวนวิธีจากทั้งสามขั้นตอนมาคูณกัน จะได้ว่ากรณีนี้มีทั้งหมด

\begin{eqnarray*}
4\times 3\times \binom{6}{2} &=& 4\times 3 \times \frac{6!}{4!2!}\\
&=& 4\times 3 \times \frac{6\times 5}{2} \\
&=& 180\text{ คำ}
\end{eqnarray*}

[STEP]คิดกรณีที่ $P\,P\,P$ ไม่ติดกันเลยตั้งแต่แรก[/STEP]

เริ่มต้นจากเรียง $A\,A\,A$ สามตัวลงไปก่อน จากนั้นนับตำแหน่งระหว่าง $A$ ทั้งสามตัวรวมหัวท้ายได้ $4$ ตำแหน่ง แล้วเลือกให้ $P$ สามตัวเลือกตำแหน่งลง

จาก $4$ ตำแหน่งเลือกมา $3$ ได้ $\displaystyle\binom{4}{3}=4$ วิธี

จะเห็นว่าเราใช้วิธีเลือกตำแหน่งมาลง ไม่ใช้การเลือกตำแหน่งลงทีละตัวด้วยเหตุผลเดียวกัน คือ $P\,P\,P$ สามตัวเหมือนกันทุกประการ

ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ทั้ง $4$ วิธีดังนี้

  1. $PAPAPA$
  2. $PAPAAP$
  3. $PAAPAP$
  4. $APAPAP$

ถึงตอนนี้เรามีของ $6$ อย่างที่เรียงเรียบร้อยแล้ว เมื่อนับช่องว่างระหว่างของทั้ง $6$ รวมหัวท้ายได้ $7$ ตำแหน่งดังรูป

จากนั้นเลือกช่องว่างเหล่านี้มา จาก $7$ ช่องเลือกมา $3$ ช่อง เพื่อให้ $T\,T\,T$ สามตัวที่เหลือลงไปแทรกได้ $\displaystyle\binom{7}{3}$ วิธี

กรณีเมื่อนำจำนวนวิธีจากทั้งสองขั้นตอนมาคูณกันจะได้คำทั้งหมด

\begin{eqnarray*}
4\times \binom{7}{3} &=& 4\times \frac{7!}{4!3!}\\
&=& 4\times \frac{7\times6\times5}{3\times2}\\
&=& 140\text{ คำ}\\
\end{eqnarray*}

[STEP]นำจำนวนคำทั้งสามกรณีมาบวกกัน[/STEP]

จะเห็นว่าทั้งสามกรณีไม่มีการนับซ้ำกันเลย เราจึงนำจำนวนคำทั้งสามกรณีมาบวกกัน

ดังนั้นจำนวนคำจากการเรียง $PPPAAATTT$ โดยที่ไม่มี $P$ ติดกันเลย และไม่มี $T$ ติดกันเลยได้ทั้งหมด

$$20+180+140 = 340\text{ คำ}$$

[ANS]$340$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การเลือกและการจัดกลุ่ม การนับแบบแยกกรณี การเรียงของที่ห้ามบางส่วนติดกัน