กำหนดให้ $a_n$ เป็นลำดับซึ่ง $a_1=12$, $a_2=2556$, $a_3=7$  ถ้า

$$a_k + a_{k+1} +a_{k+2} = 2576-k\quad\text{สำหรับ }k=1,2,3,\cdots$$

แล้ว ค่าของ $a_{2558}$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาความสัมพันธ์ระหว่าง $a_k$ กับ $a_{k+3}$[/STEP]

จาก 

$$a_k + a_{k+1} +a_{k+2} = 2576-k\qquad\cdots(1)$$

แทนค่า $k$ ด้วย $k+1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_{k+1}+a_{k+2}+a_{k+3} &=& 2576-(k+1)\\
a_{k+1}+a_{k+2}+a_{k+3} &=& 2575-k\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

เมื่อนำ $(1)-(2)$ จะได้

$$a_k-a_{k+3} = 1$$

[STEP]แทนค่า $k=1,2,3,\cdots$ เพื่อดูรูปแบบของ $a_k$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a_{1}-a_{4} & = & 1\\
a_{2}-a_{5} & = & 1\\
a_{3}-a_{6} & = & 1\\
a_{4}-a_{7} & = & 1\\
a_{5}-a_{8} & = & 1\\
a_{6}-a_{9} & = & 1\\
 & \vdots
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่า $a_1$, $a_4$, $a_7$ และ $a_{10}$ มีความสัมพันธ์กันดังนี้

$$a_1=a_4+1=a_7+2=a_{10}+3=\cdots$$

ทำนองเดียวกันจะได้

\begin{eqnarray*}
a_2 &=& a_5+1=a_8+2=a_{11}+3=\cdots\\
a_3 &=& a_6+1=a_9+2=a_{12}+3=\cdots
\end{eqnarray*}

สังเกตว่าพจน์ที่มีความสัมพันธ์กันจะห่างกันเป็นจำนวนเท่าของสามเสมอ เช่น $a_2$ กับ $a_{8}$ เลข $2$ กับ $8$ ห่างกันอยู่ $6=3\times(2)$ และจะได้สมการความสัมพันธ์เป็น $a_2=a_8+2$

ดังนั้นจึงพอสรุปได้ว่า 

\begin{eqnarray*}
a_2 &=& a_{3k+2} +k\\
a_2 -k &=& a_{3k+2}\\
a_{3k+2} &=& a_2 -k
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $a_{2558}$[/STEP]

พิจารณา $2558$ เมื่อหารด้วย $3$ แล้วเหลือเศษเท่ากับ $2$ ดังนั้น $a_{2558}$ ย่อมมีความสัมพันธ์กับ $a_2$ โดยคำนวณระยะห่างระหว่าง $2558$ กับ $2$ ได้

\begin{eqnarray*}
2558-2 &=& 2556\\
&=& 3\times (852)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a_{2558} &=& a_{3\times852+2}\\
&=& a_2-852\\
&=& 2556 - 852\\
&=& 1704
\end{eqnarray*}

[ANS]$a_{2558} = 1704$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับเวียนเกิด โจทย์ปัญหาเชาว์