กำหนดให้ $a_n$ เป็นลำดับซึ่ง

$$\frac{a_1}{a_1+2} = \frac{a_2}{a_2+3} = \frac{a_3}{a_3+4} = \cdots =\frac{a_{1000}}{a_{1000}+1001}$$

และ

$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{1000} = 250,000$$

แล้ว $a_1 + a_{1000}$ มีค่าเท่ากับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จับคู่สมการที่ติดกัน แก้หาความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ที่ติดกันของลำดับ$a_n$[/STEP]

จาก $\frac{a_1}{a_1+2}=\frac{a_2}{a_2+3}$ คูณไขว้แล้วจัดรูปจะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{a_{1}}{a_{1}+2} & = & \frac{a_{2}}{a_{2}+3}\\
a_{1}\left(a_{2}+3\right) & = & a_{2}\left(a_{1}+2\right)\\
a_{1}a_{2}+3a_{1} & = & a_{2}a_{1}+2a_{2}\\
\cancel{a_{1}a_{2}}+3a_{1} & = & \cancel{a_{1}a_{2}}+2a_{2}\\
3a_{1} & = & 2a_{2}
\end{eqnarray*}

จาก $\frac{a_2}{a_2+3} = \frac{a_3}{a_3+4}$ คูณไขว้และจัดรูปลักษณะเดียวกันกับด้านบน

\begin{eqnarray*}
\frac{a_{2}}{a_{2}+3} & = & \frac{a_{3}}{a_{3}+4}\\
a_{2}\left(a_{3}+4\right) & = & a_{3}\left(a_{2}+3\right)\\
\cancel{a_{2}a_{3}}+4a_{2} & = & \cancel{a_{2}a_{3}}+3a_{3}\\
4a_{2} & = & 3a_{3}
\end{eqnarray*}

และในทำนองเดียวกันกับทุกๆ คู่สมการ เราก็จะได้ความสัมพันธ์ลักษณะคล้ายกัน โดยที่สมการคู่สุดท้ายจะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{a_{999}}{a_{999}+1000} & = & \frac{a_{1000}}{a_{1000}+1001}\\
a_{999}\left(a_{1000}+1001\right) & = & a_{1000}\left(a_{999}+1000\right)\\
a_{999}a_{1000}+1001a_{999} & = & a_{999}a_{1000}+1000a_{1000}\\
1001a_{999} & = & 1000a_{1000}
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อนำมาเขียนเรียงกันจะสามารถจับรูปแบบได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
3a_{1} & = & 2a_{2}\\
4a_{2} & = & 3a_{3}\\
5a_{3} & = & 4a_{4}\\
6a_{4} & = & 5a_{5}\\
 & \vdots\\
1000a_{998} & = & 999a_{999}\\
1001a_{999} & = & 1000a_{1000}
\end{eqnarray*}

[STEP]บวกสมการทั้งหมดเข้าด้วยกัน[/STEP]

บวกสมการทั้งหมดเข้าด้วยกัน แล้วตัด $4a_2$ ด้านซ้าย กับ $2a_2$ ด้านขวา จะเหลือแค่ $2a_2$ ด้านซ้าย

\begin{eqnarray*}
3a_{1} & = & \cancel{2a_{2}}\\
\cancelto{2a_2}{4a_{2}} & = & 3a_{3}\\
5a_{3} & = & 4a_{4}\\
6a_{4} & = & 5a_{5}\\
 & \vdots\\
1000a_{998} & = & 999a_{999}\\
1001a_{999} & = & 1000a_{1000}
\end{eqnarray*}

ตัด $5a_3$ ด้านซ้าย กับ $3a_3$ ด้านขวา จะเหลือ $2a_3$ ด้านซ้าย

\begin{eqnarray*}
3a_{1} & = & \cancel{2a_{2}}\\
\cancelto{2a_2}{4a_{2}} & = & \cancel{3a_{3}}\\
\cancelto{2a_3}{5a_{3}} & = & 4a_{4}\\
6a_{4} & = & 5a_{5}\\
 & \vdots\\
1000a_{998} & = & 999a_{999}\\
1001a_{999} & = & 1000a_{1000}
\end{eqnarray*}

ตัดด้วยรูปแบบเดียวกันไปจนครบ

\begin{eqnarray*}
3a_{1} & = & \cancel{2a_{2}}\\
\cancelto{2a_2}{4a_{2}} & = & \cancel{3a_{3}}\\
\cancelto{2a_3}{5a_{3}} & = & \cancel{4a_{4}}\\
\cancelto{2a_4}{6a_{4}} & = & \cancel{5a_{5}}\\
 & \vdots\\
\cancelto{2a_{998}}{1000a_{998}} & = & \cancel{999a_{999}}\\
\cancelto{2a_{999}}{1001a_{999}} & = & 1000a_{1000}
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อบวกกันจนเสร็จ แล้วแยก $3a_1$ เป็น $a_1 + 2a_1$ และบวก $2a_{1000}$ ทั้งสองข้างของสมการ เพื่อให้มีผลบวกครบตามสมการ  $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{1000} = 250,000$ 

\begin{eqnarray*}
3a_1 +2a_2 +2a_3 +2a_4+\cdots +2a_{998}+2a_{999} &=& 1000a_{1000}\\
\left(a_1 + 2a_1\right) +2a_2 +2a_3 +2a_4+\cdots +2a_{998}+2a_{999} + 2a_{1000} &=& 1000a_{1000}+2a_{1000}\\
a_1 + 2\left( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{1000} \right) &=& 1002a_{1000}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{1000} = 250,000$

\begin{eqnarray*}
a_1 + 2\left( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{1000} \right) &=& 1002a_{1000}\\
a_1 + 2\left( 250,000 \right) &=& 1002a_{1000}\\
a_1 + 500,000 &=& 1002a_{1000}
\end{eqnarray*}

จะได้สมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a_1$ กับ $a_{1000}$ ดังนั้นเราต้องหาทางเปลี่ยน $a_{1000}$ ให้อยู่ในรูป $a_1$ เพื่อแก้สมการหาค่า $a_1$ ต่อไป

[STEP]คำนวณ $a_{1000}$ ในเทอมของ $a_1$[/STEP]

จากสมการความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ติดกันของลำดับ $a_n$ ในขั้นตอนแรก

\begin{eqnarray*}
3a_{1} & = & 2a_{2}\\
4a_{2} & = & 3a_{3}\\
5a_{3} & = & 4a_{4}\\
6a_{4} & = & 5a_{5}\\
 & \vdots\\
1000a_{998} & = & 999a_{999}\\
1001a_{999} & = & 1000a_{1000}
\end{eqnarray*}

สามารถย้ายตัวเลขสัมประสิทธิ์ไปทางซ้ายของทุกๆ สมการได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\frac32a_{1} & = & a_{2}\\
\frac43a_{2} & = & a_{3}\\
\frac54a_{3} & = & a_{4}\\
\frac65a_{4} & = & a_{5}\\
 & \vdots\\
\frac{1000}{999}a_{998} & = & a_{999}\\
\frac{1001}{1000}a_{999} & = & a_{1000}
\end{eqnarray*}

จากนั้นเริ่มต้นที่สมการที่สอง แทนค่า $a_2$ จากสมการที่หนึ่งลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac43a_2 &=& a_3\\
\frac43\left(\frac32a_1\right) &=& a_3 \\
a_3 &=& \left(\frac43\cdot\frac32\right)a_1\\
\end{eqnarray*}

จากนั้นนำ $a_3$ ที่ได้ แทนลงในสมการที่สามโดยยังไม่ต้องตัดเศษส่วนทิ้งไปก่อน

\begin{eqnarray*}
\frac54a_3 &=& a_4\\
\frac54\left( \frac43\cdot\frac32a_1 \right) &=& a_4\\
a_4 &=& \left(\frac54\cdot\frac43\cdot\frac32 \right) a_1
\end{eqnarray*}

แทนค่าแบบนี้ไปเรื่อยๆ เมื่อทำไปถึงสมการสุดท้ายจะได้ (เราไม่ได้ทำทั้งหมดจริงๆ เพียงแต่เราสังเกตรูปแบบของเศษส่วนที่มีแพทเทิร์นซึ่งสามารถเดาตัวถัดๆ ไปได้ง่าย)

\begin{eqnarray*}
a_{2} & = & \left(\frac{3}{2}\right)a_{1}\\
a_{3} & = & \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\right)a_{1}\\
a_{4} & = & \left(\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\right)a_{1}\\
a_{5} & = & \left(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\right)a_{1}\\
 & \vdots\\
a_{1000} & = & \left(\frac{1001}{1000}\cdot\cdots\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\right)a_{1}
\end{eqnarray*}

จากนั้น เรานำสมการสุดท้ายที่ได้มาตัดเศษส่วนเป็นแพทเทิร์นจากขวาไปซ้ายเรื่อยๆ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
a_{1000} & = & \left(\frac{1001}{1000}\cdot\cdots\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}}{2}\right)a_{1}\\
a_{1000} & = & \left(\frac{1001}{1000}\cdot\cdots\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{\cancel{4}}\cdot\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}}{2}\right)a_{1}\\
a_{1000} & = & \left(\frac{1001}{1000}\cdot\cdots\cdot\frac{6}{\cancel{5}}\cdot\frac{\cancel{5}}{\cancel{4}}\cdot\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}}{2}\right)a_{1}\\
 & \vdots\\
a_{1000} & = & \left(\frac{1001}{\cancel{1000}}\cdot\cdots\cdot\frac{\cancel{6}}{\cancel{5}}\cdot\frac{\cancel{5}}{\cancel{4}}\cdot\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}}{2}\right)a_{1}\\
a_{1000} & = & \frac{1001}{2}a_{1}
\end{eqnarray*}

จะได้ $a_{1000}$ ในรูปของ $a_1$ 

$$a_{1000} = \frac{1001}{2} a_1$$

[STEP]คำนวณ $a_1$, $a_{1000}$ และ $a_1+a_{1000}$[/STEP]

แทนค่า $a_{1000} = \frac{1001}{2} a_1$ ลงในสมการ $a_1 + 500,000 = 1002a_{1000}$ แก้สมการหาค่า $a_1$

\begin{eqnarray*}
a_{1}+500,000 & = & 1002a_{1000}\\
a_{1}+500,000 & = & 1002\left(\frac{1001}{2}a_{1}\right)\\
a_{1}+500,000 & = & \cancelto{501}{1002}\left(\frac{1001}{\cancel{2}}a_{1}\right)\\
a_{1}+500,000 & = & 501\left(1001\right)a_{1}\\
a_{1}+500,000 & = & 501,501a_{1}\\
500,000 & = & 501,501a_{1}-a_{1}\\
500,000 & = & 501,500a_{1}\\
a_{1} & = & \frac{500,000}{501,500}\\
a_{1} & = & \frac{1000}{1003}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a_1 = \frac{1000}{1003}$ ลงในสมการ $a_{1000}=\frac{1001}{2}a_1$ เพื่อหาค่า $a_{1000}$

\begin{eqnarray*}
a_{1000} & = & \frac{1001}{2}a_{1}\\
 & = & \frac{1001}{2}\cdot\left(\frac{1000}{1003}\right)\\
 & = & \frac{1001}{\cancel{2}}\cdot\left(\frac{\cancelto{500}{1000}}{1003}\right)\\
 & = & 1001\cdot\left(\frac{500}{1003}\right)\\
 & = & \frac{500500}{1003}
\end{eqnarray*}

คำนวณ $a_1+a_{1000}$

\begin{eqnarray*}
a_{1}+a_{1000} & = & \frac{1000}{1003}+\frac{500500}{1003}\\
 & = & \frac{1000+500500}{1003}\\
 & = & \frac{501500}{1003}\\
 & = & 500
\end{eqnarray*}

 

[ANS] 500 [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับเวียนเกิด โจทย์ปัญหาเชาว์