ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง และ $a$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $a\neq0$  ให้ $f:R\rightarrow R$ และ $g:R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย $f(x)=ax+2$ และ $g(x)=x^3-3x(x-1)$ สำหรับทุกๆ จำนวนจริง $x$

ถ้า $\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)(1) = 1$ แล้ว $(g\circ f)(a)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $g^{-1}(x)$[/STEP]

เมื่อกระจายพหุนามของ $g(x)$ เรียบร้อยแล้วจะได้

\begin{eqnarray*}
g\left(x\right) & = & x^{3}-3x\left(x-1\right)\\
 & = & x^{3}-3x^{2}+3x
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีหน้าตาคล้ายกับ $(x-1)^3$ มาก ดังนั้นถ้าหากเราจัดให้อยู่ในรูป $(x-1)^3$ น่าจะสามารถคำนวณ $g^{-1}(x)$ ได้ง่าย

เพื่อคำนวณหา $g^{-1}(x)$ เราเขียน $y$ แทน $g(x)$ แล้วสลับตัวแปรระหว่าง $x$ กับ $y$ แล้วแก้หา $y$ ในเทอมของ $x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x & = & y^{3}-3y^{2}+3y\\
x-1 & = & y^{3}-3y^{2}+3y-1\\
x-1 & = & \left(y-1\right)^{3}\\
\sqrt[3]{x-1} & = & \sqrt[3]{\left(y-1\right)^{3}}\\
\sqrt[3]{x-1} & = & y-1\\
y & = & \sqrt[3]{x-1}+1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจะได้ $g^{-1}(x) =  \sqrt[3]{x-1}+1$

[STEP]คำนวณค่า $a$ เพื่อให้ทราบ $f(x)$ แบบไม่ติดตัวแปร[/STEP]

จากสมการ $\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)(1) = 1$ เราคอมโพสิทครอบทั้งสองข้างของสมการด้วย $f$ เพื่อย้าย $f$ ไปทางด้านขวาเพื่อให้ทำการคำนวณง่ายขึ้น
ที่จริงแล้วขั้นตอนนี้เราทำเป็นสิ่งแรกก่อนที่จะคำนวณ $g^{-1}(x)$ และเมื่อทำเสร็จแล้วเราจะเห็นว่าเราควรไปลองคำนวณ $g^{-1}$ นั่นเอง

\begin{eqnarray*}
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(1\right) & = & 1\\
f\left(f^{-1}\circ g^{-1}\left(1\right)\right) & = & f\left(1\right)\\
\left(f\circ f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(1\right) & = & f\left(1\right)\\
\left(\cancel{f\circ f^{-1}}\circ g^{-1}\right)\left(1\right) & = & f\left(1\right)\\
g^{-1}\left(1\right) & = & f\left(1\right)
\end{eqnarray*}

จากนั้นแทนค่าตามนิยามของฟังก์ชันที่โจทย์กำหนดให้ และแทนค่าตามฟังก์ชัน $g^{-1}$ ที่คำนวณได้จากขั้นตอนที่แล้ว แล้วแก้สมการหาค่า $a$

\begin{eqnarray*}
g^{-1}\left(1\right) & = & f\left(1\right)\\
\sqrt[3]{\left(1\right)-1}+1 & = & a\left(1\right)+2\\
\sqrt[3]{0}+1 & = & a+2\\
1-2 & = & a\\
a & = & -1
\end{eqnarray*}

 

ดังนั้นจะได้ $a=-1$ และทำให้ทราบว่า $f(x) = -x+2$

[STEP]คำนวณ $(g\circ f)(a)$[/STEP]

แทนค่า $a=-1$ แล้วคำนวณ $(g\circ f)(a)$ จาก $f(x) = -x+2$ และ $g(x)=x^3-3x(x-1)$

\begin{eqnarray*}
(g\circ f)(a) & = & g\left(f\left(a\right)\right)\\
 & = & g\left(f\left(-1\right)\right)\\
 & = & g\left(-\left(-1\right)+2\right)\\
 & = & g\left(3\right)\\
 & = & 3^{3}-3\left(3\right)\left(3-1\right)\\
 & = & 27-9\left(2\right)\\
 & = & 27-18\\
 & = & 9
\end{eqnarray*}

[ANS]$(g\circ f)(a)=9$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันประกอบ อินเวอร์สฟังก์ชัน เทคนิคการทำโจทย์ฟังก์ชันประกอบและอินเวอร์สฟังก์ชัน